Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R)

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 2.1 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

(A) $\frac{R}{2}$

(B) $\frac{R\sqrt{3}}{2}$

(C) $R\sqrt{3}$

(D) Một đáp số khác

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Xét tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R)

Gọi độ dài cạnh của tam giác là a

Kẻ đường cao AH

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp O là giao điểm của các đường trung trực vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow O\in AH;OA=R=\frac{2}{3}AH\Rightarrow AH=\frac{3}{2}R$

Mặt khác, ta có OH là một phần của đường kính, OH vuông góc với dây cung BC nên H là trung điểm của BC

$\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác ABH vuông tại H

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2\Rightarrow a^2={\left(\frac{3}{2}R\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\Rightarrow a^2=\frac{9}{4}{R}^2+\frac{a^2}{4}\Rightarrow \frac{3}{4}{a}^2=\frac{9}{4}{R}^2\Rightarrow a^2=3R^2\Rightarrow a=R\sqrt{3}$

Vậy ta chọn đáp án (C)