Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 16 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC

Xét tam giác ABC vuông tại B

BI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow BI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Xét tam giác ADC vuông tại D

DI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

$\Rightarrow DI=AI=CI=\frac{AC}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có: 

$BI=DI=CI=AI=\frac{AC}{2}$

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{AC}{2}$

b)

Trong đường tròn tâm M ta có BD là dây cung không đi qua tâm, AC là đường kính nên: BD < AC.

AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính.

$\Rightarrow I\in BD\Rightarrow IA=IB=IC=ID$

Xét tứ giác ABCD có

AC giao BD tại I

$IA=IB=IC=ID$

Khi đó, ABCD là hình chữ nhật.