Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 19 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA

c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O đường kính AD = 2R

Ta có: OA = OC = OB = OD = R (1) (do bán kính bằng một nửa đường kính)

Xét cung tròn tâm D bán kính R

Do cung tròn tâm D cắt đường tròn tâm O tại B và C nên DB = DC = R (2)

Từ (1) và (2) ta có:

OB = OC = DB = DC

Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi

b)

Xét tam giác OBD có:

OB = OD = BD = R

Do đó, tam giác OBD đều

$\Rightarrow \widehat{OBD}={60}^o$

Do OBDC là hình thoi nên  đường chéo BC là đường phân giác của góc $\widehat{OBD}$

$\Rightarrow \widehat{CBD}=\widehat{CBO}=\frac{\widehat{OBD}}{2}={30}^o$

Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O)

Có AD là đường kính

Do đó ABD vuông tại B

$\Rightarrow \widehat{ABD}={90}^o$

Mà: $\widehat{ABD}=\widehat{OBA}+\widehat{OBD}$

$\widehat{\Rightarrow OBA}=\widehat{ABD}-\widehat{OBD}={90}^o-{60}^o={30}^o$

c)

Xét tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O)

Có AD là đường kính

Do đó ACD vuông tại C

$\Rightarrow \widehat{ACD}={90}^o$

$\widehat{OCD}=\widehat{OBD}={60}^o$ (do OBDC) là hình thoi

Mà: $\widehat{ACD}=\widehat{OCA}+\widehat{OCD}$

$\Rightarrow \widehat{OCA}=\widehat{ACD}-\widehat{OCD}={90}^o-{60}^o={30}^o$

Xét tam giác ABC có:

Do OBDC là hình thoi nên  đường chéo BC là đường phân giác của góc $\widehat{OCD}$

$\Rightarrow \widehat{OCB}=\frac{\widehat{OCD}}{2}=\frac{{60}^o}{2}={30}^o$

$\widehat{ACB}=\widehat{ACO}+\widehat{OCB}={30}^o+{30}^o={60}^o$

Xét tam giác ABC, có: 

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}={60}^o$

Nên tam giác ABC cân tại A

Mà $\widehat{ABC}={60}^o$

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.