Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 20 trang 159 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Lời giải:

a)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

$\Rightarrow$ OM + MA = ON + NB (1)

Xét tứ giác MCDN có:

MC vuông góc với CD

ND vuông góc với CD

$\Rightarrow$ MC // ND

Do đó, MCDN là hình thang

Kẻ OI vuông góc với CD

$\Rightarrow$ OI // MC // ND  (2) (cùng vuông góc với CD)

Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O

Do đó, I là trung điểm của CD (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra O là trung điểm của MN

$\Rightarrow$ OM = ON (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra AM = BN

b)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

$\Rightarrow$ OM + MA = ON + NB

Mà MA = NB $\Rightarrow$ OM = ON

Do đó, O là trung điểm của MN

Xét tứ giác CDNM có:

MC // ND

Do đó , CDNM là hình thang

Có O là trung điểm của MN

Dựng I là trung điểm của CD

Do đó, OI là đường trung bình của hình thang CDMN

$\Rightarrow$ OI // MC // ND (1)

Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O, OI giao với dây cung CD (khác đường kính) tại trung điểm I

$\Rightarrow OI\perp CD$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MC cũng vuông góc với CD và ND cũng vuông góc với CD.