Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương (2022) - Toán 9

Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một tích

Định lí. Với hai số a và b không âm, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{9.36}$;

b) $\sqrt{64.121}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{9.36}=\sqrt{9}.\sqrt{36}=3.6=18$.

b) $\sqrt{64.121}=\sqrt{64}.\sqrt{121}=8.11=88$.

Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm.

Ví dụ 2. Ta có thể mở rộng đối với nhiều số không âm, chẳng hạn:

$\sqrt{81.100.144}=\sqrt{81}.\sqrt{100}.\sqrt{144}$

2. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả lại với nhau.

$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$(với a, b ≥ 0).

Ví dụ 3. Áp dụng khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{169.225}$;

b) $\sqrt{\mathrm{0,25}.\mathrm{1,44}.\mathrm{3,24}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{169.225}=\sqrt{169}.\sqrt{225}=13.15=195$;

b) $\sqrt{\mathrm{0,25}.\mathrm{1,44}.\mathrm{3,24}}=\sqrt{\mathrm{0,25}}.\sqrt{\mathrm{1,44}}.\sqrt{\mathrm{3,24}}$

= 0,5 . 1,2 . 1,8 = 1,08.

3. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

$\sqrt{a}.\sqrt{b}=\sqrt{a.b}$(với a, b ≥ 0).

Ví dụ 4. Tính:

a) $\sqrt{3}.\sqrt{27}$;

b) $\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40}$.

Lời giải:

a)

$\sqrt{3}.\sqrt{27}=\sqrt{3.27}=\sqrt{81}=9$

b)

$\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{40}=\sqrt{2.5.40}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với hai biểu thức A và B không âm ta có:

$\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$.

Đặc biệt, với biểu thức A không âm ta có:

${\left(\sqrt{A}\right)}^2=\sqrt{A^2}=A$.

Ví dụ 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}$với a < 0;

b) $\sqrt{25a^4{b}^2}$.

Lời giải:

a)

$\sqrt{5a}.\sqrt{45a}=\sqrt{5a.45a}=\sqrt{225a^2}$

$=\sqrt{{\left(15a\right)}^2}=\left.15a\right|=-15a$ (vì a < 0).

b)

$\sqrt{25a^4{b}^2}=\sqrt{25}.\sqrt{a^4}.\sqrt{b^2}$

$=5\sqrt{{\left(a^2\right)}^2}.\left|b\right|=5a^2.\left|b\right|$

B.Bài tập

I.Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả rút gọn của biểu thức  (với a, b > 0) là ?

Lời giải:

Với a, b > 0, ta có

Chọn đáp án C

Câu 2: Cho , giá trị của biểu thức  là ?

A. 4.     B. 2√2.     C. 1.     D. √2.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 3: Giá trị của biểu thức  là?

A. 2√2. B. 2√7. C. √14. D. √2.

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án B.

Câu 4: Giá trị lớn nhất của biểu thức Bài tập Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương - Bài tập Toán lớp 9 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết là ?

A. 2. B. 1 C. 2√2 D. 4.

Lời giải:

Tập xác định D = [2; 4]

Áp dụng BĐT Bunhia – copxki ta có:

Chọn đáp án A.

Câu 5: Rút gọn biểu thức: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 6: Rút gọn biểu thức: 

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 7: Rút gọn các biểu thức sau: 

A. 8

B. 12

C.10

D.14

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 8: Rút gọn biểu thức: 

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho x ≥ 0; phân tích đa thức E = 3 - x thành nhân tử, kết quả là:

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 10: Rút gọn các biểu thức sau: 

A. 4

B. -3

C. -5

D. -9

Lời giải:

Chọn đáp án D.

II.Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Thực hiện các phép tính sau:

Lời giải:

Câu 2: Cho biểu thức

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên

Lời giải:

a) Điều kiện: x ≠ 0.

Ta có

b) Từ kết quả trên, giá trị A nguyên khi và chỉ khi 3/x nguyên.

3/2 nguyên khi 3 chia hết cho x ⇒ x ∈ {±1; ±3}.

Câu 3: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Câu 4: Tính giá trị của biểu thức x2 + y2 biết rằng 

Lời giải:

III.Bài tập vận dụng

Câu 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích hãy tính

a, $\sqrt{0,009.64}$             

b, $\sqrt{2^4.{(-7)}^2}$           

c, $\sqrt{12,1.360}$       

d, $\sqrt{2^2{.3}^4}$

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

Câu 3: Giải các phương trình sau:

Câu 4: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

Câu 5: Áp dụng quy tắc nhân, hãy tính:

Câu 6: Rút gọn biểu thức  với a ≥ 3

Câu 7: Cho biểu thức

a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên

Câu 8: Giải các phương trình sau:

Câu 9: Tính giá trị của biểu thức x² + y² biết rằng 

Câu 10: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{\mathrm{0,64}{a}^2}$với a < 0;

b) $\sqrt{a^4{(a-5)}^2}$với a ≥ 5;

c) $\sqrt{a^4{(a-5)}^2}$với a ≥ 0.