Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương (2022) - Toán 9

Chuyên đề Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Căn bậc hai của một thương

Định lí. Với số a không âm và số b dương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Ví dụ 1. Tính:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}$;

b) $\sqrt{\frac{144}{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}$;

b) $\sqrt{\frac{64}{121}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{121}}=\frac{8}{11}$.

2. Quy tắc khai phương một thương

Muốn khai phương một thương $\frac{a}{b}$, trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương của các số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(vớia\ge 0,b>0).$

Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}$;

b) $\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{49}{144}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}}=\frac{7}{12}$;

b)

$\sqrt{\frac{25}{64}:\frac{49}{16}}=\sqrt{\frac{25}{64}}:\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{5}{8}:\frac{7}{4}=\frac{5}{14}$

3. Quy tắc chia hai căn bậc hai

Muốn chia hai căn bậc hai của số a không âm và số b dương, ta có thể lấy số a chia cho số b rồi khai phương kết quả vừa tìm được.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$(với a ≥ 0, b > 0).

Ví dụ 3. Tính:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$;

b) $\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}$.

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.

b)

$\sqrt{6\frac{3}{4}}:\sqrt{2\frac{1}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}}:\sqrt{\frac{25}{12}}=\sqrt{\frac{27}{4}:\frac{25}{12}}$

$=\sqrt{\frac{27}{4}.\frac{12}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$

Chú ý. Một cách tổng quát, với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$.

Ví dụ 4. Rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9a^2}{64}}$;

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}$với a > 0.

Lời giải:

a)

$\sqrt{\frac{9a^2}{64}}=\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{9}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{64}}=\frac{3}{8}\left|a\right|$

b) $\frac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a}}=\sqrt{\frac{63a}{7a}}=\sqrt{9}=3$với a > 0.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức  khi rút gọn là?

A. -xy2

B. xy2

C. -x2y

D. x2y

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án C.

Câu 2: Nghiệm của phương trình 

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án D.Câu 3: Giá trị của x trong phương trình 

A. 10

B. 10 và -6

C. -6

D. -8

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án B.Câu 4: Nghiệm của phương trình 

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án C.Câu 5: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức sau  là?

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án D.Câu 6: Rút gọn biểu thức  với a>0; b> 0; ta được kết quả:

A. 9a

B.9a2

C.-3a

D. 3a

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án D.

Câu 7: Rút gọn biểu thức  với a > 0; b < 0 ta được kết quả:

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án B.Câu 8: Rút gọn biểu thức  với y < 1; x ≠ 1 ta được kết quả:

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án C.

Câu 9: Rút gọn biểu thức  với x > y > 0 ; ta được kết quả:

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án A.

Câu 10: Tính 

Lời giải:

Ta có:Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu1: Tính:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}$;

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}$;

c) $\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{121}{256}}=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{256}}=\frac{11}{16}$.

b) $\sqrt{1\frac{15}{49}}=\sqrt{\frac{64}{49}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{49}}=\frac{8}{7}$;

c)

$\sqrt{\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{16,9}}}=\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}=\frac{7}{13}$

Câu 2: Tính:

a) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}$;

b) $\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}$;

c) $\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}$.

Lời giải:

a)

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{48}}=\sqrt{\frac{3}{48}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$

b)

$\frac{\sqrt{245}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{245}{5}}=\sqrt{49}=7$

c)

$\frac{\sqrt{{24}^7}}{\sqrt{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{{24}^7}{3^5.8^7}}=\sqrt{\frac{3^7.8^7}{3^5.8^7}}$

$=\sqrt{\frac{3^7}{3^5}}=\sqrt{3^2}=3$

Câu 3: Rút gọn biểu thức:

a) $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}$với x < 0, y ≠ 0;

b) $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}$với y > 0;

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}$với x > 0, y ≠ 0.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{y^4}}$

$=\frac{x}{y}.\frac{\sqrt{9}.\sqrt{x^2}}{\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}}=\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}$

Vì x < 0 nên |x| = − x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó

$\frac{x}{y}.\frac{3\left|x\right|}{\left|y^2\right|}=\frac{x}{y}.\frac{3.(-x)}{y^2}=\frac{-3x^2}{y^3}$ 

Vậy $\frac{x}{y}.\sqrt{\frac{9x^2}{y^4}}=\frac{-3x^2}{y^3}$với x < 0, y ≠ 0.

b) 

$3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{36x^4}}{\sqrt{y^2}}=3xy.\frac{\sqrt{6^2.{\left(x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}}$

$=3xy.\frac{\sqrt{{\left(6x^2\right)}^2}}{\sqrt{y^2}}=3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|}$

Vì x² ≥ 0 nên | x² | = x².

Vì y > 0 nên |y| = y.

Do đó

$3xy.\frac{\left|6x^2\right|}{\left|y\right|}=3xy.\frac{6x^2}{y}=18x^3$

Vậy $3xy.\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=18x^3$với y > 0.

c) $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=2x{y}^3.\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{x^2{y}^4}}$

$=2x{y}^3.\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{x^2}.\sqrt{{\left(y^2\right)}^2}}=2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}$

Vì x > 0 nên |x| = x.

Vì y ≠ 0 nên y² > 0. Suy ra | y² | = y².

Do đó $2x{y}^3.\frac{8}{\left|x\right|.\left|y^2\right|}=2x{y}^3.\frac{8}{x{y}^2}=16y$.

Vậy $2x{y}^3.\sqrt{\frac{64}{x^2{y}^4}}=16y$ với x > 0, y ≠ 0.

Câu 4: Với nội dung quy tắc căn bậc hai, hãy tìm giá trị hợp lý của các biểu thức dưới đây:

a) $\sqrt{10}.\sqrt{40}$

b) $\sqrt{5}.\sqrt{45}$

c) $\sqrt{52}.\sqrt{13}$

d)  $\sqrt{2}.\sqrt{162}$

Lời giải:

a) Giải : $\sqrt{10}.\sqrt{40}=\sqrt{10.40}=\sqrt{400}=20$

b) 15 ;                         

c) 26 ;                   

d) 18

Câu 5: Yêu cầu tính giá trị của các công thức sau khi áp dụng quy tắc nhân:

b)  $\sqrt{75.48}$;

c) $\sqrt{90.6,4}$;

d) $\sqrt{2,5.14,4}$. 

Lời giải:

a) Giải : $\sqrt{45.80}=\sqrt{\mathrm{9.5.5.16}}=\sqrt{9}.\sqrt{25}.\sqrt{16}$ = 3.5.4 = 60 ;

b) Đáp Số : 60 ;

c) Đáp Số : 24 ;

d) Đáp Số : 6

Câu 6: Áp dụng quy tắc khai phương để so sánh kết quả của từng cặp phép tính dưới đây?

a)  $\sqrt{2}+\sqrt{3}và\sqrt{10};$

b) $\sqrt{3}+2và\sqrt{2}+\sqrt{6};$

c) $16và\sqrt{15}.\sqrt{17}$;

d) $8và\sqrt{15}+\sqrt{17}.$

Lời giải:

a) Đưa về so sánh ${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}với(\sqrt{10}{)}^2$ hay so sánh $5+2\sqrt{2}.\sqrt{3}$ với 10.

Kết quả được $\sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}$ .

b) Tương tự câu a) :

So sánh $(\sqrt{3}+2{)}^2$ với ${(\sqrt{2}+\sqrt{6})}^2$

hay so sánh $7+4\sqrt{3}$ với $8+2\sqrt{12}$ .

Do $8+2\sqrt{12}=8+4\sqrt{3}nên7+4\sqrt{3}<8+2\sqrt{12}.$

Từ đó suy ra $\sqrt{3}+2<\sqrt{2}+\sqrt{6}.$

c) Biến đổi $\sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}=\sqrt{{16}^2-1}$

Do ${16}^2-1<{16}^{2}nên\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}$

Vậy $\sqrt{15}.\sqrt{17}<16$.

d) So sánh hai bình phương là $8^{2}và{(\sqrt{15}+\sqrt{17})}^2$

$32=2.16với2\sqrt{15}.\sqrt{17}=2\sqrt{{16}^2-1}.$

Kết quả được $\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$

Câu 7: Dùng phương pháp tính nhẩm để so sánh các kết quả của hai biểu thức sau:

$\sqrt{2003}+\sqrt{2005}và2\sqrt{2004}.$

Lời giải:

Kết quả $\sqrt{2004}+\sqrt{2005}<2.\sqrt{2004}$

Câu 8: Biểu diễn $\sqrt{ab}$ với điều kiện cho phép là a < 0 và b < 0 và áo dụng quy tắc nhân. Qua đó, tính giá trị $\sqrt{(-25).(-64)}$

Lời giải:

Do $a,b<0\to -a,-b>0$

Khi đó, ta có $\sqrt{a.b}=\sqrt{(-a)}.\sqrt{(-b)}=\sqrt{-a}.\sqrt{-b}$

Áp dụng, ta có $\sqrt{-25}.\sqrt{-64}=\sqrt{25}.\sqrt{64}=5.8=40$

7. Giá trị của  $\sqrt{1,6}.\sqrt{2,5}$ bằng

$\sqrt{1.6}.\sqrt{2.5}=\sqrt{1.6\times 2.5}=\sqrt{4}=2$

Câu 9: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính:

a) $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$

b) $\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}$

c) $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$

d) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$

Lời giải:

a) $\frac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}$ = $\sqrt{\frac{2300}{23}}=\sqrt{100}=10$

b) $\frac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}$ $=\sqrt{\frac{12,5}{0,5}}=\sqrt{25}=5$

c) $\frac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}$= $\sqrt{\frac{192}{12}}=\sqrt{16}=4$

d) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}$ = $\sqrt{\frac{6}{150}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$

Câu 10: Cho các biểu thức:

$A=\sqrt{\frac{2x+3}{x-3}}$ và $\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}$

a. Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa

b. Với giá trị nào của x thì A = B?

Lời giải:

a) Để A có nghĩa thì $\frac{2x+3}{x-3}\ge 0$

Trường hợp 1:

$\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\Rightarrow x>3$

Trường hợp 2:

$\begin{array}{l}2x+3\le 0\\ x-3<0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x\le -3\\ x<3\end{array}\iff \begin{array}{l}x\le \frac{-3}{2}\\ x<3\end{array}\Rightarrow x\le \frac{-3}{2}$

Vậy x > 3 hoặc $x\le \frac{-3}{2}$ thì A có nghĩa

B có nghĩa khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}2x+3\ge 0\\ x-3>0\end{array}\iff \begin{array}{l}2x\ge -3\\ x>3\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge \frac{-3}{2}\\ x>3\end{array}\Rightarrow x>3$

Vậy để B có nghĩa thì x > 3

b) Với x > 3 thì A và B đồng thời có nghĩa

Vậy với x > 3 thì A = B

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 2: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 3: Giải phương trình

Câu 4: Tính

 

 

Câu 5: Tính

 

 

Câu 6: Rút gọn các biểu thức sau:

 với 

 với 

 với 

 với 

Câu 7:

a) So sánh và 

b) Chứng minh rằng: với  thì