Chuyên đề Căn bậc hai (2022) - Toán 9

Chuyên đề Căn bậc hai - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Căn bậc hai

a. Khái niệm: Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x² = a.

Ví dụ 1. Số 16 là số không âm, căn bậc hai của 16 là số x sao cho x² = 16.

Do đó căn bậc hai của 16 là 4 và −4.

b. Tính chất:

- Số âm không có căn bậc hai.

- Số 0 có đúng một căn bậc hai đó chính là số 0, ta viết $\sqrt{0}=0$.

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau; số dương ký hiệu là $\sqrt{a}$, số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$.

Ví dụ 2.

- Số −12 là số âm nên không có căn bậc hai.

- Số 64 có hai căn bậc hai là 8 và −8.

- Số 15 có hai căn bậc hai là $\sqrt{15}$và $-\sqrt{15}$.

2. Căn bậc hai số học

a. Định nghĩa: Với số dương a, số $\sqrt{a}$được gọi là căn bậc hai số học của a.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ 3. Căn bậc hai số học của 36 là $\sqrt{36}$(= 4).

- Căn bậc hai số học của 7 là $\sqrt{7}$.

Chú ý. Với a ≥ 0, ta có:

Nếu $x=\sqrt{a}$thì x ≥ 0 và x² = a;

Nếu x ≥ 0 và x² = a thì $x=\sqrt{a}$.

- Ta viết $x=\sqrt{a}\iff \begin{array}{l}x\ge \mathrm{0,}\\ x^2=a.\end{array}$

Ví dụ 4. Tìm căn bậc hai số học của các số sau đây: 25; 81; 225; 324.

Lời giải:

Ta có:

• $\sqrt{25}=5$ vì 5 > 0 và 5² = 25;

• $\sqrt{81}=9$ vì 9 > 0 và 9² = 81;

• $\sqrt{225}=15$ vì 15 > 0 và 15² = 225;

• $\sqrt{324}=18$ vì 18 > 0 và 18² = 324.

b. Phép khai phương:

- Phép khai phương là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm (gọi tắt là khai phương).

- Khi biết một căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai của nó.

Ví dụ 5. 

- Căn bậc hai số học của 9 là 3 nên 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3.

- Căn bậc hai số học cuả 256 là 16 nên 256 có hai căn bậc hai là 16 và −16.

3. So sánh các căn bậc hai số học

Định lí.Với hai số a và b không âm, ta có: $a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$.

Ví dụ 6. So sánh:

a) 3 và $\sqrt{11}$;

b) 5 và $\sqrt{15}$.

Lời giải:

a) Vì 9 < 11 nên $\sqrt{9}<\sqrt{11}$.

Vậy $3<\sqrt{11}$.

b) Vì 25 > 15 nên $\sqrt{25}>\sqrt{15}$.

Vậy $5>\sqrt{15}$.

B.Bài tập

I.Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho số thực a > 0. Số nào sau dây là căn bậc hai số học của a?

Lời giải:

Với số dương a, số √a được gọi là căn bậc hai số học của a

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Cho số thực a > 0. Căn bậc hai số học của a là x khi và chỉ khi

Lời giải:

Với số dương a, số x được gọi là căn bậc hai số học của a khi và chỉ khi  

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3: Số bào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 0,36

A. – 0,6                      

B. 0,6                         

C. 0,9                         

D. – 0,18

Lời giải:

Căn bậc hai số học của a = 0,36 là √0,36 = 0,6 

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4: Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số a = 2,25

A. – 1,5 và 1,5

B. 1,25           

C. 1,5                         

D. – 1,5

Lời giải:

Căn bậc hai số học của a = 2,25 là √2,25 = 1,5

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai:

Lời giải:

- Với hai số a, b không âm ta có a < b ⇔ √a < √b nên c đúng

- Với hai số a, b không âm ta có a > b ≥ 0 ⇔ √a > √b nên D sai

- Sử dụng hằng đẳng thức

 nên A, B đúng

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7: So sánh hai số 2 và 1 + √2 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8: So sánh hai số 5 và 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9: Biểu thức  có nghĩa khi:

A. x < 3                      

B. x < 0                      

C. x ≥ 0                    

D. x ≥ 3 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10: Biểu thức  có nghĩa khi

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

II.Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Tính căn bậc hai số học của:

a. 0,01     b. 0,04     c. 0,49     d. 0,64

e. 0,25     f. 0,81     g. 0,09     h. 0,16

Lời giải:

a. √0,01 = 0,1 vì 0,1 ≥ 0 và (0,1)² = 0,01

b. √0,04 = 0,2 vì 0,2 ≥ 0 và (0,2)² = 0,04

c. √0,49 = 0,7 vì 0,7 ≥ 0 và (0,7)² = 0,49

d. √0,64 = 0,8 vì 0,8 ≥ 0 và (0,8)² = 0,64

e. √0,25 = 0,5 vì 0,5 ≥ 0 và (0,5)² = 0,25

f. √0,81 = 0,9 vì 0,9 ≥ 0 và (0,9)² = 0,81

g. √0,09 = 0,3 vì 0,3 ≥ 0 và (0,3)² = 0,09

h. √0,16 = 0,4 vì 0,4 ≥ 0 và (0,4)² = 0,16

Câu 2: Dùng máy tính bỏ túi tim x thỏa mãn đẳng thức (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

a. x² = 5        b. x² = 6

c. x² = 2,5        d. x² = √5

Lời giải:

a. x² = 5 ⇒ x₁ = √5 hoặc x₂ = -√5

Ta có: x₁ = √5 ≈ 2,236 hoặc x₂ = -√5 ≈ -2,236

b. x² = 6 ⇒ x₁ = ≈6 hoặc x₂ = -≈6

Ta có: x₁ = 6 ≈ 2,449 hoặc x₂ = -≈6 ≈ -2,449

c. x² = 2,5 ⇒ x₁ = √2,5 hoặc x₂ = - √2,5

Ta có: x₁ = √2,5 ≈ 1,581 hoặc x₂ = - √2,5 = -1,581

d. x² = 5 ⇒ x₁ = √(√5) hoặc x₂ = √(√5)

Ta có: x₁ = √(√5) ≈ 1,495 hoặc x₂ = - √(√5) = -1,495

Câu 3: Số nào có căn bậc hai là:

a. √5      b. 1,5      c. -0,1      d. -√9

Lời giải:

a. Số 5 có căn bậc hai là √5

b. Số 2,25 có căn bậc hai là 1,5

c. Số 0,01 có căn bậc hai là -0,1

d. Số 9 có căn bậc hai là -√9

Câu 4: Tìm x không âm biết:

a. √x = 3     b. √x = √5     c. √x = 0     d. √x = -2

Lời giải:

a. √x = 3 ⇒ x = 3² ⇒ x = 9

b. √x = √5 ⇒ x = (√5 )² ⇒ x = 5

c. √x = 0 ⇒ x = 0² ⇒ x = 0

d. Căn bậc hai số học là số không âm nên không tồn tại giá trị nào của √x thỏa mãn x = -2

Câu 5: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

a. 2 và √2 + 1     b. 1 và √3 – 1

c. 2√31 và 10     d. -√3.11 và -12

Lời giải:

a. Ta có: 1 < 2 ⇒ √1 < √2 ⇒ 1 < √2

Suy ra: 1 + 1 < √2 + 1

Vậy 2 < √2 + 1

b. Ta có: 4 > 3 ⇒ √4 > √3 ⇒ 2 > √3

Suy ra: 2 – 1 > √3 – 1

Vậy 1 > √3 – 1

c. Ta có: 31 > 25 ⇒ √31 > √25 ⇒ √31 > 5

Suy ra: 2.√31 > 2.5

Vậy 2.√31 > 10

d. Ta có: 11 < 16 ⇒ √11 < √16 ⇒ √11 < 4

Suy ra: -3.√11 > -3.4

Vậy -3√11 > -12

Câu 6: Trong các số  , số nào là căn bậc hai số học của 25?

Lời giải:

Căn bậc hai số học của 25 là 

Câu 7: Chứng minh: 

Viết tiếp một số đẳng thức tương tự.

Lời giải:

Bài 8: Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

a. Nếu √a < √b thì a < b

b. Nếu a < b thì √a < √b

Lời giải:

a. a ≥ 0; b ≥ 0 và a < b ⇒ b > 0

Ta có: √a ≥ 0; √b ≥ 0 suy ra: √a + √b > 0     (1)

Mặt khác: a – b = (√a )² – (√b )² = (√a + √b )(√a - √b )

Vì a < b nên a – b < 0

Suy ra: (√a + √b )(√a - √b ) < 0     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: √a - √b < 0 ⇒ √a < √b

b. a ≥ 0; b ≥ 0 và √a < √b ⇒ √b > 0

Suy ra: √a + √b > 0 và √a - √b < 0

(√a + √b )(√a - √b ) < 0

⇒ (√a )² – (√b )² < 0 ⇒ a – b < 0 ⇒ a < b

Bài 9: Cho số m dương. Chứng minh:

a. Nếu m > 1 thì √m > 1     b. Nếu m < 1 thì √m < 1

Lời giải:

a. Ta có: m > 1 ⇒ √m > √1 ⇒ √m > 1

b. Ta có: m < 1 ⇒ √m < √1 ⇒ √m < 1

Bài 10: Cho số m dương. Chứng minh:

a. Nếu m > 1 thì m > √m     b. Nếu m < 1 thì m < √m

Lời giải:

a. Ta có: m > 1 ⇒ √m > √1 ⇒ √m > 1

Vì m > 0 nên √m > 0

Suy ra: √m .√m > 1.√m ⇒ m > √m

b. Ta có: m < 1 ⇒ √m < √1 ⇒ √m < 1

Vì m > 0 nên √m > 0

Suy ra: √m .√m < 1.√m ⇒ m < √m

III.Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm x để các căn thức bậc hai sau có nghĩa

Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

Câu 3: Giải các phương trình sau:

Câu 4: Chứng minh rằng:

    √2 + √6 + √12 + √20 + √30 + √42 < 24

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 6: Rút gọn biểu thức A

Câu 7: Cho biểu thức 

    a) Rút gọn biểu thức M;

    b) Tìm các giá trị của x để M = 4.

Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức:

Câu 9: Tìm x, để

Câu 10: Số nào có căn bậc hai là:

a) $\sqrt{5}$     b) 1,5      c) -0,1      d) -$\sqrt{9}$