Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức (2022) - Toán 9

Chuyên đề Căn bậc hai và hằng đẳng thức - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$là căn thức bậc hai của A, còn A là biểu thức lấy căn hay còn gọi là biểu thức dưới dấu căn.

$\sqrt{A}$ xác định(có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ 1. $\sqrt{5x}$là căn thức bậc hai của 5x;

$\sqrt{5x}$xác định khi 5x ≥ 0, tức là khi x ≥ 0.

2. Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left.A\right|$

Định lí. Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^2}=\left.a\right|$.

Ví dụ 2.Tính

a) $\sqrt{{14}^2}$;

b) $\sqrt{{(-20)}^2}$.

Lời giải:

a) $\sqrt{{14}^2}=\left.14\right|=14$.

b) $\sqrt{{(-20)}^2}=\left.-20\right|=20$.

Chú ý. Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có $\sqrt{A^2}=\left.A\right|$, có nghĩa là:

$\sqrt{A^2}=A$nếu A ≥ 0 (tức là A lấy giá trị không âm);

$\sqrt{A^2}=-A$nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm).

Ví dụ 3.Rút gọn

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}$với x < 4;

b) $\sqrt{a^6}$với a ≥ 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(x-4)}^2}=\left.x-4\right|=4-x$(vì x < 4);

b) $\sqrt{a^6}=\sqrt{{\left(a^3\right)}^2}=\left|a^3\right|$.

Vì a ≥ 0 nên a³ ≥ 0, do đó | a³ | = a³.

Vậy $\sqrt{a^6}=a^3$(với a ≥ 0).

B.Bài tập

I.Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Tính giá trị biểu thức 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Tính giá trị biểu thức 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3: Tìm điều kiện xác định của 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4: Tìm điều kiện xác định của 

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5: Rút gọn biểu thức   với a > 0

A. −9a            

B. −3a            

C. 3a                           

D. 9a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6: Rút ngọn biểu thức:  với a > 0

A. −9a            

B. −3a            

C. 3a                           

D. 9a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7: Tìm x để  có nghĩa

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Tìm x để  có nghĩa

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Rút gọn biểu thức  với -4≤a≤4 ta được

A. 2a                          

B. 8                            

C. −8                          

D. −2a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10: Rút gọn biểu thức  với  ta được:

A. −4a            

B. 4a                           

C. −6                          

D. 6

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: D

II.Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1:Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{\frac{a}{4}}$;

b) $\sqrt{-3a}$;

c) $\sqrt{2a+9}$.

Lời giải:

a)Điều kiện xác định: $\frac{a}{4}\ge 0\iff a\ge 0$.

Vậy với a ≥ 0 thì $\sqrt{\frac{a}{4}}$có nghĩa.

b) Điều kiện xác định: − 3a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

Vậy với a ≤ 0 thì $\sqrt{-3a}$có nghĩa.

c) Điều kiện xác định: 2a + 9 ≥ 0 $\iff a\ge \frac{-9}{2}$.

Vậy với $a\ge \frac{-9}{2}$thì $\sqrt{2a+9}$ có nghĩa.

Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}$;

b) $3\sqrt{a^2}$với a ≥ 0;

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}$với a < 3.

Lời giải:

a) $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=\left.3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Ta có $3=\sqrt{9}$mà $\sqrt{9}>\sqrt{6}$nên $3-\sqrt{6}>0$.

Do đó $\left.3-\sqrt{6}\right|=3-\sqrt{6}$.

Vậy $\sqrt{{(3-\sqrt{6})}^2}=3-\sqrt{6}$.

b) $3\sqrt{a^2}=3\left.a\right|$.

Vì a ≥ 0 nên 3|a| = 3a.

Vậy $3\sqrt{a^2}=3a$.

c) $5\sqrt{{(a-3)}^2}=5\left.a-3\right|$.

Vì a < 3 nên a – 3 < 0.

Do đó 5|a – 3| = 5(3 – a) = 15 – 5a.

Vậy $5\sqrt{{(a-3)}^2}=15-5a$.

Câu 3: Tìm x, biết:

a) $\sqrt{x^2}=15$;

b) $\sqrt{9x^2}=12$;

c) $\sqrt{16x^2}=|-20|$.

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}=15$

$\iff$|x| = 15

$\iff$x = ±15.

Vậy x = ± 15.

b) $\sqrt{9x^2}=12$

$\iff \sqrt{{\left(3x\right)}^2}=12$

$\iff$|3x| = 12

$\iff$3x =± 12

$\iff$x =± 4.

Vậy x =± 4.

d) $\sqrt{16x^2}=|-20|$

$\iff \sqrt{{\left(4x\right)}^2}=20$

$\iff$|4x| = 20

$\iff$4x = ± 20

$\iff$x = ± 5.

Vậy x = ± 5.

Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:

Lời giải:

Câu 5: Giải các phương trình sau

Lời giải:

Câu 6: Cho biểu thức: 

a) Tìm tập xác định của biểu thức.

b) Rút gọn biểu thức A.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

Vậy tập xác định là D = [1; +∞].

b) Ta có: .

Câu 7: Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa.

a) $\sqrt{\frac{a}{3}}$

b) $\sqrt{-5a}$

c) $\sqrt{4-a}$

d) $\sqrt{3a+7}$

Lời giải:

a) Để $\sqrt{\frac{a}{3}}$ có nghĩa thì $\frac{a}{3}$ ≥ 0 ⇔ a ≥ 0.

b) Để $\sqrt{-5a}$ có nghĩa thì -5a ≥ 0 ⇔ a ≤ 0.

c) Để $\sqrt{4-a}$ có nghĩa thì 4 – a ≥ 0 ⇔ -a ≥ -4 ⇔ a ≤ 4.

d) Để $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa thì 3a + 7 ≥ 0 ⇔ 3a ≥ -7 ⇔ a ≥ $\frac{-7}{3}$.

Câu 8: Tính:

Lời giải:

Câu 9: Rút gọn biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$

c) $2\sqrt{a^2}$ với a ≥ 0

d) $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}$ với a < 2.

Lời giải:

a) $\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}$ = |2 - $\sqrt{3}$| = 2 - $\sqrt{3}$

b) $\sqrt{4x^2}$$\sqrt{{\left(3-\sqrt{11}\right)}^2}$ = |3 - $\sqrt{11}$| = $\sqrt{11}$ - 3

c) $2\sqrt{a^2}$ = 2|a| vì a ≥ 0 nên 2|a| = 2a.

d) $3\sqrt{{\left(a-2\right)}^2}$ = 3|a - 2| vì a < 2 nên 3|a - 2| = 3(2 - a) = 6 - 3a.

Câu 10: Tìm x biết:

a) $\sqrt{x^2}$ = 7

b) $\sqrt{x^2}$ = |-8|

c) $\sqrt{4x^2}$ = 6

d) $\sqrt{9x^2}$ = |-12|

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2}$ = 7 ⇔ |x| = 7

⇔ x₁ = 7 và x₂ = -7

b) $\sqrt{x^2}$ = |-8| ⇔ $\sqrt{x^2}$ = 8

⇔ |x| = 8 ⇔ x₁ = 8 và x₂ = -8

c) $\sqrt{4x^2}$ = 6 ⇔ $\sqrt{{\left(2x\right)}^2}$ = 6  ⇔ |2x| = 6

⇔ 2.|x| = 6  |x|= 3 ⇔ x₁ = 3 và x₂ = -3

d) $\sqrt{9x^2}$ = |-12| ⇔ $\sqrt{{\left(3x\right)}^2}$ = 12

⇔ |3x| = 12 ⇔ 3.|x| = 12 |x| = 4

⇔ x₁ = 4 và x₂ = -4.

III.Bài tập vận dụng

Câu 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a.	b.	g.
c.	d.	h.
e.	f.	i

Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:

a.	b.
c.	d.
e.	f.

Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a.	b.
c.	d.
e.	f.

Câu 4: Giải các phương trình sau:

a.	b.
c.	d.

Câu 5: Giải các phương trình sau:

a.	b.
c.	d.

Câu 6: Thực hiện phép tính

e) 8 - 2√7

f) 

Câu 7: Rút gọn biểu thức căn bậc 2

Câu 8: Giải phương trình

Câu 9: Tính:

Câu 10: Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa: