Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn - Toán 9

A. Lý thuyết

1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên trong đường tròn) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, $\widehat{BEC}$ là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là .

Do đó, 

2. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên ngoài đường tròn) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, $\widehat{BEC}$ là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là $\stackrel{⏜}{BnC},\stackrel{⏜}{AmD}$.

Do đó, 

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình vẽ dưới đây , góc BIC có số đo bằng

Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Chọn đáp án B

Câu 2: Cho hình vẽ dưới đây , góc DIE có số đo bằng

Lời giải:

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Chọn đáp án A

Câu 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn cung CA). Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại D. Biết tam giác ADC cân tại C. Tính góc ADC

A. 40°

B. 45°

C. 60°

D. 30°

Lời giải:

Xét nửa (O) có

Chọn đáp án D

Câu 4: Trên (O) lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự sao cho cung AB = cung BC = cung CD . Gọi I là giao điểm của BD và AC , biết  . Tính 

A. 20°

B. 15°

C. 35°

D. 30°

Lời giải:

Chọn đáp án B

Câu 5: Cho đường tròn (O) và dây AB; AC cách đều tâm. Trên cung nhỏ AC lấy điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Góc nào bằng góc 

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho đường trò (O) và 2 dây AB, CD cắt nhau tại điểm E. Tìm hệ thức đúng?

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho đường tròn (O), tam giác BCD nội tiếp đường tròn với . Lấy điểm A trên cung BD – không chứa điểm C sao cho AB và CD cắt nhau tại điểm S nằm ngoài đường tròn (O) và .Tính 

A. 15°

B.20°

C. 45°

D. 30°

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 8: Cho đường tròn (O) và tam ABC nội tiếp đường tròn sao cho . Trên cung AC –không chứa điểm B lấy điểm D sao cho , AC cắt BD tại M nằm trong đường tròn. Tính số đo góc 

A. 120°

B. 60°

C. 150°

D.165°

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC, đường thẳng BO cắt đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Tính , biết rằng 

A. 600

B. 1200

C. 1050

D.900

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho đường tròn (O) và 4 điểm A,B, C, D cùng nằm trên đường tròn sao cho AC và BD cắt nhau tại điểm M nằm trong đường tròn, AB và CD cắt nhau tại điểm S nằm ngoài đường tròn. So sánh hai góc 

Lời giải:

Chọn đáp án C.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Từ điểm M nằm ngoài đường thẳng (O) vẽ tiếp tuyến MC với C là tiếp điểm và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B) và A; B; C thuộc (O). Gọi D là điểm chính giữa cung AB không chứa C, CD cắt AB tại I. Chứng minh:

a) $\widehat{MCD}=\widehat{BID}$

b) $MI=MC$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{MCD}$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{CD}$

$\Rightarrow \widehat{MCD}=\frac{1}{2}$ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$  (định lí)    (1)

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung $\stackrel{⏜}{CA}$ và $\stackrel{⏜}{BD}$

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$ (sđ $\stackrel{⏜}{CA}$ + sđ $\stackrel{⏜}{BD}$) (định lí)  (2)

Ta có:

$\stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{CA}+\stackrel{⏜}{AD}$

Mà $\stackrel{⏜}{AD}=\stackrel{⏜}{BD}$ (do D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$)

Do đó $\stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{CA}+\stackrel{⏜}{BD}$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \widehat{MCD}=\widehat{BID}$ (điều phải chứng minh)

b) Ta có:

$\widehat{CIM}$ và $\widehat{BID}$ là hai góc đối đỉnh

$\Rightarrow \widehat{CIM}=\widehat{BID}$(tính chất)

Mà $\widehat{MCD}=\widehat{BID}$(chứng minh ở câu a)

Do đó $\widehat{CIM}=\widehat{MCD}$

Xét tam giác CMI có

$\widehat{CIM}=\widehat{MCI}$

$\Rightarrow \Delta CMI$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)

=> MI = MC (tính chất).

Câu 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI; BI; CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, F. Dây EF cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh:

a) DI = BD.

b) AM = AN.

Lời giải:

a) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là phân giác $\widehat{A}$.

Mà AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{BC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CD}$ (1).

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI là đường phân giác $\widehat{B}$.

Mà BI cắt đường tròn ngọa tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{AE}$= sđ $\stackrel{⏜}{EC}$(2).

Ta có:

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$)  (3)

$\widehat{IBD}$ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$.

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{DE}$

Mà $\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EC}+\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\widehat{IBD}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) $\Rightarrow \widehat{BID}=\widehat{IBD}$

Xét tam giác IDB có:

$\widehat{BID}=\widehat{IBD}$

$\Rightarrow \Delta IDB$ cân tại D

$\Rightarrow DI=DB$ (tính chất)

b) Vì I là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên CI là phân giác $\widehat{C}$.

Mà CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F nên F là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BF}$ = sđ $\stackrel{⏜}{A\text{}F}$ (5).

Ta có:

$\widehat{AN\text{}F}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AN\text{}F}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{A\text{}F}$+ sđ $\stackrel{⏜}{EC}$)  (6)

$\widehat{AME}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AME}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{AE}$ + sđ $\stackrel{⏜}{FB}$) (7)

Từ (1); (5); (6); (7) $\Rightarrow \widehat{AN\text{}F}=\widehat{AME}$

Xét tam giác AMN có:

$\widehat{AN\text{}M}=\widehat{AMN}$

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A

$\Rightarrow AM=AN$(tính chất).

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E. Chứng minh:

a) Tam giác BDI là tam giác cân;

b) DE là đường trung trực của IC.

Lời giải:

a) ) Vì  AI là phân giác $\widehat{A}$ của tam giác ABC và AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D nên D là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{BC}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{BD}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CD}$ $=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{BC}$ (1).

Vì  BI là phân giác $\widehat{B}$ của tam giác ABC và BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại E nên E là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AC}$.

=>sđ $\stackrel{⏜}{AE}$ = sđ $\stackrel{⏜}{CE}$ $=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AC}$ (2).

Ta có:

$\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$\Rightarrow \widehat{BID}=\frac{1}{2}$ (sđ $\stackrel{⏜}{AE}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$)  (3)

$\widehat{IBD}$ là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$.

$\Rightarrow \widehat{IBD}=\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{DE}$

Mà $\stackrel{⏜}{DE}=\stackrel{⏜}{EC}+\stackrel{⏜}{CD}$ nên $\widehat{IBD}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{CD}$) (4)

Từ (1) (2) (3) (4) $\Rightarrow \widehat{BID}=\widehat{IBD}$

Xét tam giác IDB có:

$\widehat{BID}=\widehat{IBD}$

$\Rightarrow \Delta IDB$ cân tại D

b) Gọi giao điểm của DE và IC là K, CI cắt đường tròn tại điểm thứ hai là H.

Vì  CI là phân giác $\widehat{C}$ của tam giác ABC và CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại H nên H là điểm chính giữa cung $\stackrel{⏜}{AB}$.

=> sđ $\stackrel{⏜}{AH}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BH}$= $\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ (5).

Ta có:

$\widehat{EKC}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn

$\Rightarrow \widehat{EKC}$= $\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{DH}$)

Mà $\stackrel{⏜}{DH}=\stackrel{⏜}{BD}+\stackrel{⏜}{BH}$

$\Rightarrow \widehat{EKC}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{EC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BD}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BH}$)

Theo (1); (2); (5) $\Rightarrow \widehat{EKC}=\frac{1}{4}$(sđ $\stackrel{⏜}{AC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{BC}$+ sđ $\stackrel{⏜}{AB}$)

$\iff \widehat{EKC}=90°$

$\Rightarrow DE\perp IC$

Lại có: $\widehat{CED}$ là góc góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{CD}$

$\widehat{BED}$ là góc nội tiếp chắn chung $\stackrel{⏜}{BD}$

Mà $\stackrel{⏜}{BD}=\stackrel{⏜}{CD}$

Do đó: $\widehat{CED}=\widehat{BED}$

Xét tam giác CEK và tam giác IEK có:

$\widehat{CEK}=\widehat{IEK}$ (do $\widehat{CED}=\widehat{BED}$)

EK chung

$\widehat{EKC}=\widehat{EKI}=90°$

Do đó: $\Delta CEK=\Delta IEK$ (c – g – c)

$\Rightarrow IK=KC$(hai cạnh tương ứng)

Ta có:

$\begin{array}{l}IK=KC\\ DE\perp IC\end{array}\Rightarrow$DE là đường trung trực của IC.

Câu 4: Cho tam giác ABC phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Chứng minh: EF // BC.

Lời giải:

Ta có: $\widehat{BDE}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và $\widehat{BDE}$ chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$

Lại có: $\widehat{EAD}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{DE}$

$\Rightarrow \widehat{BDE}=\widehat{EAD}$ (hệ quả)

Xét tam giác BED và tam giác BDA có:

$\widehat{BDE}=\widehat{EAD}$ (chứng minh trên)

$\widehat{B}$ chung

Do đó: $\Delta BED\backsim \Delta BDA$(g – g)

$\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{DEA}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{BED}+\widehat{DEA}=180°$

Do đó $\Rightarrow \widehat{BED}=\widehat{DEA}=90°$

Lại có:

Xét tam giác BED vuông tại E ta có:

$\widehat{EBD}+\widehat{EDB}=90°$

$\Rightarrow \widehat{EBD}=90°-\widehat{EDB}$ (1)

Lại có: $\widehat{DEF}+\widehat{FEA}=90°$

$\Rightarrow \widehat{FEA}=90°-\widehat{DE\text{}F}$ (2)

Lại có AD là tia phân giác $\widehat{A}$$\Rightarrow \stackrel{⏜}{ED}=\stackrel{⏜}{FD}$

Mà $\widehat{EDB}$ là góc tạo vởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung $\stackrel{⏜}{ED}$

Và $\widehat{DE\text{}F}$ là góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⏜}{FD}$

Do đó $\widehat{DE\text{}F}=\widehat{EDB}$ (3)

Từ (1); (2); (3) $\Rightarrow \widehat{EBD}=\widehat{FEA}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC

Câu 5: Cho đường tròn đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M như hình vẽ. Tính số đo của cung BD, biết $\widehat{AMB}={120}^o$.

Lời giải:

Câu 6: Cho đường tròn đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A nằm trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A là tiếp điểm). Tính $\widehat{AMC}$, biết số đo cung AC là 120^o.

Lời giải:

Câu 7: Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là đường phân giác góc CBD.

Lời giải:

∆ABE có AH là đường phân giác đồng thời là đường cao nên ∆ABE cân tại đỉnh A.

Đường tròn (O) được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo mỗi cung bằng: ${360}^o:20={18}^o$

Gọi giao điểm của $A_1{A}_8$và $A_3{A}_{16}$là I

Ta có: sđ$\stackrel{⏜}{A_1{A}_3}={2.18}^o={36}^o$; sđ$\stackrel{⏜}{A_8{A}_{16}}={8.18}^o={144}^o$

Ta có: ${\widehat{A_{1}IA}}_3=\frac{1}{2}\left(\text{sd}{\stackrel{⏜}{A_{1}A}}_3+sd\stackrel{⏜}{A_8{A}_{16}}\right)$(góc có đỉnh ở trong đường tròn (O))

$\Rightarrow \widehat{A_{1}I{A}_3}=\frac{1}{2}\left({36}^o+{144}^o\right)={90}^o$

Do đó, $A_1{A}_8$vuông góc với dây $A_3{A}_{16}$tại I.

Kẻ tia đối của tia CP là Cx.

Xét đường tròn (O) có $\widehat{C}$là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung AmB và cung nhỏ AD.

$\Rightarrow \widehat{C}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AmB}-sđ\stackrel{⏜}{AD}\right)$

Mà sđ$\stackrel{⏜}{AmB}$= sđ$\stackrel{⏜}{ADB}={180}^o$

 $\Rightarrow \widehat{C}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{ADB}-sđ\stackrel{⏜}{AD}\right)=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{\text{D}B}$ (1)

Mặt khác, ta có:  $\widehat{CDP}=\widehat{BDx}$(hai góc đối đỉnh) (2)

$\widehat{BDx}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{BD}$(góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: $\widehat{C}=\widehat{CDP}$

Do đó, tam giác PCD cân tại P

⇒ PD = PC.

Xét đường tròn (O) ta có:

Góc E là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung nhỏ BC và cung nhỏ AD

$\Rightarrow \widehat{E}=\frac{1}{2}\left(sđ\stackrel{⏜}{AD}-sđ\stackrel{⏜}{BC}\right)$

Lại có: sđ$\stackrel{⏜}{AD}=\widehat{AOD}={144}^o$(góc ở tâm chắn cung)

$\Rightarrow {22}^o=\frac{1}{2}\left({144}^o-sđ\stackrel{⏜}{BC}\right)\Rightarrow sđ\stackrel{⏜}{BC}={100}^o$

Ta có:  $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BC}$(góc nội tiếp chắn cung)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\frac{1}{2}{.100}^o={50}^o$

Xét tam giác ABC có:

Góc CBE là góc ngoài tại đỉnh B

 $\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{BAC}+\widehat{ACB}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{CBE}-\widehat{BAC}={75}^o-{50}^o={25}^o$

Mặt khác, ta có:  $\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}$(hệ quả của góc nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=2.\widehat{ACB}={2.25}^o={50}^o$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BAC}={50}^o$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn và cát tuyến PBC với P, B, C thuộc (O).

a) Biết PC = 25cm, PB = 49 cm. Đường kính của đường tròn (O) là 50cm. Tính PO.

b) Đường phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt PB ở I và cắt (O) tại D. Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB.

Câu 2: Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ cát tuyến PAB và tiếp tuyến PT với A, B, T thuộc (O). Đường phân giác của góc $\widehat{ATB}$ cắt AB tại D. Chứng minh PT = PD.

Câu 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt (O) tại D và E. Dây DE cắt cạnh AB và AC tại M và N. Chứng minh:

a) Các tam giác AMN, EAI và DAI là những tam giác cân.

b) Tứ giác AMIN là hình thoi.

Câu 4: Cho điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến PAB và PCD (A nằm giữa P và B và C nằm giữa P và D), các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q.

a) Cho biết $\widehat{P}=60°$ và $\widehat{AQC}=80°$. Tính $\widehat{BCD}$.

b) Chứng minh PC.PD = PA.PB

Câu 5: Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt BC và BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF vuông góc với MN, cắt MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:

a) Tam giác BMN cân.

b) $F{D}^2=FE.FB$.

Câu 6: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = $\sqrt{2}R$. Vẽ dây CF đi qua E. Tiếp tuyến của đường tròn F cắt CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh:

a) Tia CF là tia phân giác của góc $\widehat{BCD}$;

b) MF // AC;

c) MN; OD; OM có độ dài là ba cạnh của tam giác vuông.

Câu 7: Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O). Điểm D di chuyển trên cung MP. Gọi E là giao điểm của MP và ND, Gọi F là giao điểm của MG và NP. Chứng minh: $\widehat{MFN}=\widehat{MND}$.

Câu 8: Tam giác MNP nội tiếp đường tròn (O), các điểm I, K, H là điểm chính giữa các cung MN, NP, PM. Gọi J là giao điểm của IK và MN, G là giao điểm của HK và MP. Chứng minh JG song song với NP.

Câu 9: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCB với A, B, C thuộc (O). Phân giác góc $\widehat{BAC}$ cắt BC tại D, cắt (O) tại N. Chứng minh:

a) MA = MD;

b) Cho cát tuyến MBC quay quanh M và luôn cắt đường tròn. Chứng minh MB.MC không đổi;

c) $N{B}^2=NA.ND$.

Câu 10: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C. Gọi M, N, P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB; BC; AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC.

Chứng minh:

a) Tam giác BNI cân;

b) AE.BN = EB.AN;

c) EI // BC;

d) $\frac{AN}{BN}=\frac{AB}{BD}$.