Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn (2022) - Toán 9

Chuyên đề Công thức nghiệm thu gọn - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Công thức nghiệm thu gọn

a) Biệt thức $∆\text{'}$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ ta có biệt thức như sau:

$∆\text{'}$= $\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}$

Ta sửa dụng biết thức $∆\text{'}$để giải phương trình bậc hai.

b) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’ và biệt thức $∆\text{'}$= b’² - ac

+ Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}};{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm.

B.Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

A. Δ' > 0

B. Δ' = 0

C. Δ' ≥ 0

D. Δ' ≤ 0

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

• TH1: Nếu Δ' < 0 thì phương trình vô nghiệm

• TH2: Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

• TH3: Nếu Δ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = 

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac. Nếu Δ' = 0 thì:

A. Phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

C. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

D. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức b = 2b'; Δ' = b'2 - ac:

Nếu Δ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 

Chọn đáp án C.

Câu 3: Tính Δ' và tìm số nghiệm của phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0

A. Δ' = 6 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

B. Δ' = 8 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

C. Δ' = 8 và phương trình có nghiệm kép

D. Δ' = 0 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lời giải:

Phương trình 7x2 - 12x + 4 = 0 có a = 7; b' = -6; c = 4 suy ra:

Δ' = (b')2 - ac = (-6)2 - 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Chọn đáp án B.

Câu 4: Tìm m để phương trình 2mx2 - (2m + 1)x - 3 = 0 có nghiệm là x =2

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 5: Tính Δ' và tìm nghiệm của phương trình 

Lời giải:

Chọn đáp án D.

Câu 6: Tìm nghiệm dương của phương trình: x2 - 8x + 10 = 0

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = - 8 nên b’ = -4; c = 10.

Δ' = (-4)2 - 1.10 = 16 - 10 = 6

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là;

Vậy cả hai nghiệm trên đều là nghiệm dương của phương trình đã cho.

Chọn đáp án D.

Câu 7: Cho phương trình 2x2 - 10x + m + 1 = 0; ( m là tham số). Tìm m để biệt thức Δ' = 11

A. m = 3

B. m = 6

C. m = 9

D. m = -2

Lời giải:

Ta có: a = 2 ; b = -10 nên b’ = -5; c = m + 1

Δ' = (-5)2 - 2.(m + 1) = 25 - 2m - 2 = 23 - 2m

Để Δ' = 11 thì 23 – 2m = 11

⇔ -2m = -12 ⇔ m = 6

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho phương trình 2x2 – 4x + m = 0. Tìm m để phương trình trên vô nghiệm?

A. m < 3

B. m > - 3

C. m > 2

D. m < -2

Lời giải:

Ta có: a = 2; b = - 4 nên b’ = -2 và c = m

Δ' = (-2)2 - 2m = 4 - 2m

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì:4 – 2m < 0 hay m > 2 .

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho hai phương trình x2 – 4x + 4= 0 và x2 + (m + 1)x + m = 0 . Tìm m để hai phương trình trên có nghiệm chung?

A. m = 2 hoặc m = -1

B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = -1

D. m = -2

Lời giải:

* Xét phương trình : x2 – 4x + 4= 0

⇔ (x-2)2 = 0 ⇔ x - 2 = 0 ⇔ x = 2

Vậy phương trình này có nghiệm duy nhất.

Để hai phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi x = 2 là nghiệm phương trình

x2 + (m + 1)x + m = 0.Suy ra:

22 + (m + 1).2 + m = 0

⇔ 4 + 2m + 2 + m = 0 ⇔ 6 + 3m = 0

⇔ 3m = +6 ⇔ m = -2

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho phương trình: -8x2 + 100x + 40m = 0. Tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất?

Lời giải:

Chọn đáp án B.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Giải phương trình bậc hai 

Lời giải:

Cách 1: Xét phương trình  có

Ta có:

Do ∆’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Cách 2: Nhẩm nghiệm

Ta có: a + b + c = 

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2: Xác định có hệ số a, b, b’, c rồi tính biệt thức $∆\text{'}$của các phương trình sau:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6=0$

c) $4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-3=0$

Có a = 1; b = 6; b’ = 3; c = -3

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=3^2-1.\left(-3\right)=12$

b) $2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6=0$

Có a = 2; b = 2; b’ = 1; c = 6

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=1^2-2.6=1-12=-11$

c) $4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1=0$

Có a = 4; b = 4; b’ = 2; c = 1.

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=2-4.1=4-4=0$

Câu 3: Giải các phương trình sau:

a) $3{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-5=0$

b) $2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{a}+7=0$

Lời giải:

a) $3{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-5=0$

Ta có: a = 3; b = 8; b’ = 4; c = -5

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=4^2-3.\left(-5\right)=16+15=31>0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}=\frac{-4+\sqrt{31}}{3}$;

${\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}\text{'}-\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}=\frac{-4-\sqrt{31}}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\mathrm{S}=\left.\frac{-4+\sqrt{31}}{3};\frac{-4-\sqrt{31}}{3}\right\}$

b) $2{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{a}+7=0$

Ta có: a = 2; b = 4; b’ = 2; c = 7

$∆=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}=2^2-2.7=4-14=-10<0$

Phương trình vô nghiệm.

Câu 4: Cho phương trình ${\mathrm{x}}^2+2\left(\mathrm{m}+3\right)\mathrm{x}+{\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}=0$

a) Tính $∆\text{'}$

b) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm? Vô số nghiệm? Có nghiệm kép?

Lời giải:

a) Ta có: a = 1; b = 2(m + 3); b’ = m + 3; c = m² – 3m

$\mathrm{∆\text{'}=}{\left(\mathrm{m}+3\right)}^2-1.\left({\mathrm{m}}^2-3\mathrm{m}\right)={\mathrm{m}}^2+6\mathrm{m}+9-{\mathrm{m}}^2+3\mathrm{m}=9\mathrm{m}+9$

b) Ta có a = 1$\ne 0$

 + Để phương trình vô nghiệm thì:

$∆\text{'}<0\Rightarrow 9\mathrm{m}+9<0\iff 9\mathrm{m}<-9\iff \mathrm{m}<-1$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$∆\text{'}>0\Rightarrow 9\mathrm{m}+9>0\iff 9\mathrm{m}>-9\iff \mathrm{m}>-1$

+ Để phương trình nghiệm kép thì:

$∆\text{'}=0\iff 9\mathrm{m}+9=0\iff 9\mathrm{m}=-9\iff \mathrm{m}=-1$

Câu 5:Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) 5x² – 6x –1 = 0

b) –3x² + 14x – 8 = 0

c) –7x² + 4x = 3

d) 9x² + 6x + 1 = 0

Lời giải:

a) Phương trình 5x² – 6x –1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = –3, c = –1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (–3)² –5.(–1) = 9 + 5 = 14 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{3+\sqrt{14}}{5}$;

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{3-\sqrt{14}}{5}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left.\frac{3+\sqrt{14}}{5};\frac{3-\sqrt{14}}{5}\right\}$

b) Phương trình –3x² + 14x – 8 = 0 có hệ số a = –3, b’= 7, c = –8

Ta có: Δ' = b’² – ac = 7² – (–3).(–8) = 49 – 24 = 25 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-7+\sqrt{25}}{-3}=\frac{2}{3}$;

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-7-\sqrt{25}}{-3}=4$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left.\frac{2}{3};4\right\}$

c) Phương trình –7x² + 4x = 3 ⇔ 7x² – 4x + 3 = 0 có hệ số a=7, b’=–2 , c=3

Ta có: Δ’ = b’² – ac = (–2)² – 7.3 = 4 – 21 = –17 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

d) Phương trình 9x² + 6x + 1 = 0 có hệ số a = 9, b’ = 3, c = 1

Ta có: Δ’ = b’² – ac = 3² – 9.1 = 9 – 9 = 0

Phương trình có nghiệm kép:

x₁ = x₂ = $\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{-3}{9}=\frac{-1}{3}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left.\frac{-1}{3}\right\}$

Câu 6:Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a) x² + 2 + 2$\sqrt{2}$và 2(1 + $\sqrt{2}$)x

b) $\sqrt{3}$x² + 2x – 1 và 2$\sqrt{3}$x + 3

c) –2$\sqrt{2}$x – 1 và $\sqrt{2}$x² + 2x +3

Lời giải:

a) Ta có: x² +2 + 2$\sqrt{2}$= 2(1 + $\sqrt{2}$)x

⇔ x² – 2(1 +$\sqrt{2}$)x +2 +2$\sqrt{2}$= 0

Δ' = b’² – ac = [–(1 + $\sqrt{2}$)]²– 1(2 + 2$\sqrt{2}$)

= 1 + 2$\sqrt{2}$+ 2 – 2 – 2$\sqrt{2}$= 1 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}+1}{1}=2+\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}$

Vậy với x =$2+\sqrt{2}$ hoặc x =$\sqrt{2}$ thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

b) Ta có: $\sqrt{3}$x² + 2x – 1 = 2$\sqrt{3}$x +$\sqrt{3}$

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2x – 2$\sqrt{3}$x – 3 – 1 = 0

⇔ $\sqrt{3}$x² + (2 – 2$\sqrt{3}$)x – 4 =0

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2(1 – $\sqrt{3}$)x – 4 = 0

Δ' = b’² – ac = (1– $\sqrt{3}$)² – $\sqrt{3}$(–4) =1 – 2$\sqrt{3}$+ 3 + 4$\sqrt{3}$

= 1 + 2$\sqrt{3}$+ 3 = (1 +$\sqrt{3}$ )²> 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Vậy với x = 2 hoặc x = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

c) Ta có: –2$\sqrt{2}$x – 1 =$\sqrt{2}$ x² + 2x + 3

⇔ $\sqrt{2}$x² + 2x + 3 + 2$\sqrt{2}$x + 1=0

⇔ $\sqrt{2}$x² + 2(1 + $\sqrt{2}$)x + 4 =0

Δ' = b’² – ac= (1+ $\sqrt{2}$)² – $\sqrt{2}$.4 = 1 + 2$\sqrt{2}$+ 2 – 4$\sqrt{2}$

= 1 –2$\sqrt{2}$+ 2 = ($\sqrt{2}$– 1)² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-2$

Vậy với x = $-\sqrt{2}$hoặc x = -2thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

Câu 7:Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a) x² – 2$\sqrt{3}$x – $\sqrt{3}$và 2x² + 2x + $\sqrt{3}$

b) $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$và –x² – 2$\sqrt{3}$x +2$\sqrt{5}$+1

Lời giải:

a) Ta có: x² – 2$\sqrt{3}$x – = 2x² + 2x +$\sqrt{3}$

⇔ x² – 2$\sqrt{3}$x – $\sqrt{3}$– 2x² – 2x – $\sqrt{3}$=0

⇔ –x² – 2x – 2$\sqrt{3}$x – 2$\sqrt{3}$=0

⇔ x² + 2x + 2$\sqrt{3}$x + 2$\sqrt{3}$=0

⇔ x² + 2(1 +$\sqrt{3}$)x + 2$\sqrt{3}$=0

Δ' = b’² – ac= (1+$\sqrt{3}$ )² – 1. 2$\sqrt{3}$= 1 + 2$\sqrt{3}$+ 3 –2$\sqrt{3}$= 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{4}}{1}=1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{4}}{1}=-3-\sqrt{3}$

Vậy với x = $1-\sqrt{3}$hoặc x = –3 – $\sqrt{3}$thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

b) Ta có: $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$= –x² – 2$\sqrt{3}$x + 2$\sqrt{5}$+ 1

⇔ $\sqrt{3}$x² + 2$\sqrt{5}$x – 3$\sqrt{3}$+ x² + 2$\sqrt{3}$x – 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$+ 1)x² + (2$\sqrt{5}$+ 2$\sqrt{3}$)x – 3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$+1)x² + 2($\sqrt{5}$+ $\sqrt{3}$)x – 3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1 = 0

Δ' = b’² – ac = ($\sqrt{3}$+ $\sqrt{5}$)² – ($\sqrt{3}$+ 1)( –3$\sqrt{3}$– 2$\sqrt{5}$– 1)

= 5 + 2$\sqrt{15}$+ 3 + 9 + 2$\sqrt{15}$+ $\sqrt{3}$+ 3$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$+ 1

=18 + 4$\sqrt{15}$+ 4$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$

= 1 + 12 + 5 + 2.2$\sqrt{3}$+ 2$\sqrt{5}$+ 2.2$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$

= 1 + (2$\sqrt{3}$)² + ($\sqrt{5}$)² + 2.1.2$\sqrt{3}$+ 2.1.$\sqrt{5}$ + 2.2$\sqrt{3}$.$\sqrt{5}$

= (1 + 2$\sqrt{3}$+ $\sqrt{5}$)² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$

Vậy với x = 1 hoặc x = $\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$thì giá trị hai biểu thức bằng nhau.

Câu 8:Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình dưới). Khi nhảy, độ cao h từ người đó đến mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức : h = –(x – 1)² + 4 . Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu:

a) Khi vận động viên ở độ cao 3m?

b) Khi vận động viên chạm mặt nước?

Lời giải:

a) Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h = 3m

Ta có: 3 = –(x – 1)² + 4

⇔ (x – 1)² – 4 + 3 = 0

⇔ (x – 1)² – 1 = 0

⇔ x² – 2x + 1 – 1 = 0

⇔ x² – 2x = 0

⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x – 2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy x = 0m hoặc x = 2m

b) Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa là h = 0m

Ta có: 0 = – (x – 1)² + 4

⇔ –x² + 2x – 1 + 4 =0

⇔ x² – 2x – 3 =0

Δ' = b’² – ac = (–1)² –1.(–3) =1 +3 = 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{4}}{1}=1+2=3$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{4}}{1}=1-2=-1$

Vì khoảng cách không thể nhận giá trị âm nên x = 3.

Câu 9:Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 16x² – 8x + 1 = 0

b) 6x² – 10x – 1 = 0

c) 5x² + 24x + 9 = 0

d) 16x² – 10x + 1 = 0

Lời giải:

a) 16x² – 8x +1=0

Ta có: Δ' = (–4)² – 16.1 = 16 – 16 =0

Phương trình có nghiệm kép:

$x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0,25}

b) 6x² – 10x – 1 = 0

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-5\right)}^2-6.\left(-1\right)=25+6=31>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{31}}{6}=\frac{5+\sqrt{31}}{6}\approx 1,76$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{31}}{6}=\frac{5-\sqrt{31}}{6}\approx -0,09$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1,76;–0,09}

c) 5x² + 24x + 9 = 0

Ta có: Δ' = 12² – 5.9 = 144 – 45 = 99 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-12+\sqrt{99}}{5}\approx -0,41$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-12-\sqrt{99}}{5}\approx -4,39$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {–0,41; –4,39}

d) $16x^2-10x+1=0$

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-5\right)}^2-16.1=25-16=9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-5\right)+\sqrt{9}}{16}=0,5$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(-5\right)-\sqrt{9}}{16}\approx 0,13$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S = {0,5; 0,13}.

Câu 10:Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau?

a)  $y=\frac{1}{3}{x}^2$ và y = 2x – 3

b)  $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và y = x – 8

Lời giải:

a) Ta có: Để giá trị của hai hàm số bằng nhau thì $\frac{1}{3}{x}^2=2x-3$

$\iff \frac{1}{3}{x}^2-2x+3=0$

$\iff x^2-6x+9$

$\Delta \text{'}=b{\text{'}}^2-ac=3^2-9.1=0$

Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}=\frac{3}{1}=3$

Vậy để giá trị hai hàm số bằng nhau thì x = 3

b) Ta có: $\frac{-1}{2}{x}^2=x-8$

$\iff \frac{-1}{2}{x}^2-x+8=0$

$\iff x^2+2x-16$= 0

$\Delta \text{'}=1^2-1.\left(-16\right)=1+16=17>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-1+\sqrt{17}}{1}=-1+\sqrt{17}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-1-\sqrt{17}}{1}=-1-\sqrt{17}$

Vậy giá trị hai hàm số bằng nhau khi $x=-1+\sqrt{17}$hoặc $x=-1-\sqrt{17}$.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải các phương trình :  

a) 4 – 20x + 25 = 0 ;

b) 3 – 4x + 7 = 0 ;

c) 2 – 4x –  = 0.

Câu 2:

Cho phương trình  -2(2m – 1)x – 3m = 0 (1), trong đó m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x = -3.

Câu 3: Giải các phương trình:

a) 7 – 6x + 2 = 0;

b) 16 + 24x + 9 = 0.

Câu 4: Giải các phương trình :

a) 4 – 6x – 5 = 0 ;

b)  –  10x  – 24 = 0.

Câu 5: Cho phương trình  – 6x +  – 4m = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

Câu 6: Cho parabol (P): y =  và đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m.

a) Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P).

Câu 7: Cho phương trình (ẩn x):  – 2(k – 1)x + k – 7 = 0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi k.

Câu 8: Cho phương trình  – 2mx +  + 3m – 1 = 0.

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Câu 9: Cho phương trình 4x +  – 12 – 2y + 14 = 0. Chứng minh rằng có duy nhất một cặp số (x ; y) thoả mãn phương trình đã cho.

Câu 10:Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?

A) $x_1=x_2=\frac{b}{2a}$

B) $x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{a}$

C) $x_1=x_2=\frac{-b}{a}$

D) $x_1=x_2=\frac{-b\text{'}}{2a}$