Chuyên đề Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (2022) - Toán 9

Chuyên đề Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Khái niệm hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

a. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox

Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox và M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương.

Khi đó, $\widehat{Max}$là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x + 3. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox.

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 3

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A (0; 3).

+ Cho y = 0 thì x = −3 ta được điểm B (−3; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 3); B(−3; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 3 với trục Ox là α, ta có $\widehat{ABO}=\alpha$.

Xét tam giác vuông OAB, ta có $\tan \alpha =\frac{OA}{OB}=\frac{3}{3}=1$(1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 3)

Khi đó số đo góc α là α = 45°.

Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là 45°.

2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

− Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Khi a > 0, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90°.

Khi a < 0 góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù và nếu a càng lớn thì góc đó càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180°.

Như vậy, góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox phụ thuộc vào a.

Người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

Chú ý. Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax.

Ví dụ 2. Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0.

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1.

Vậy a = 1, b = 0.

B.Bài tập

I.Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) . Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. -a

B. a

C. 1/a

D. b

Lời giải:

Đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) có a là hệ số góc.

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho đường thẳng d: y = ax + b (a > 0) . Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Khẳng định nào dưới đây là đúng:

A. α = -tanα

B. α = (180° - α)

C. α = tanα

D. α = -tan(180° - α)

Lời giải:

Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b (a ≠ 0)

Gọi α là góc tạo bởi tia Ox và d . Ta có: α = tanα

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 1. Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. -2

B. 1/2

C. 1

D. 2

Lời giải:

Đường thẳng d: y = 2x + 1 có hệ số góc là a = 2

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x - 5 đi qua điểm có A(-1; 2). Hệ số góc của đường thẳng d là:

A. 1

B. 11

C. -7

D. 7

Lời giải:

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được

(m + 2).(-1) - 5 = 2 ⇔ -m - 2 = 7 ⇔ m = -9

Suy ra d: y = -7x - 5

Hệ số góc của đường thẳng d là k = -7

Chọn đáp án C.

Câu 5: Tính hệ số góc của đường thẳng d: y = (2m - 4)x + 5 biết nó song song với đường thẳng d': 2x - y - 3 = 0.

A. 1

B. -2

C. 3

D. 2

Lời giải:

Ta có hai đường thẳng d: y = (2m - 4)x + 5 và d': 2x - y - 3 = 0 hay d': y = 2x - 3

Mà d // d' ⇒ 2m - 4 = 2 (1)

Mặt khác, d có hệ số góc là 2m – 4 và d’ có hệ số góc là 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ hệ số góc của d là 2

Chọn đáp án D.

Câu 6: Cho hàm số bậc nhất y = (2m + 1)x + m – 2. Tìm m biết rằng góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox bằng 45°.

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 2

Lời giải:

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nên 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ (-1)/2 .

Gọi góc α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox . Theo giả thiết α = 45°. Ta có:

tanα = a ⇒ tan45° = 2m + 1

⇔ 1 = 2m + 1 ⇔ 0 = 2m ⇔ m = 0

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hai đường thẳng y = 2x + 10 và y = (3 - m)x + 4. Biết rằng hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Tìm m?

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -1

D. m = 2

Lời giải:

Vì hai đường thẳng trên tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên a = a’

Hay 2 = 3 – m nên m = 1

Chọn đáp án B.

Câu 8: Khoanh tròn chữ cái trước câu trả lời đúng

Gọi α và β lần lượt là góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 và y = - 5x + 2 với trục Ox. Khẳng định nào sau đây là đúng :

A. 90° < β < α

B. 90° < α < β

C. α < β < 90°

D. β < α < 90°

Lời giải:

Hai đường thẳng đã cho có hệ số góc lần lượt là – 2 < 0 và -5 < 0

Góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho với trục Ox là góc tù.

Lai có: -5 < -2 nên β < α

Vậy 90° < β < α

Chọn đáp án A.

Câu 9: Đường thẳng y = (a - 1)x + 6 tạo với trục hoành một góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. a > 0

B. a < 0

C. a < 1

D. a > 1

Lời giải:

Để đường thẳng đã cho tạo với trục hoành một góc tù thì :

a - 1 < 0 ⇔ a < 1

Chọn đáp án C.

Câu 10: Cho đồ thị hàm số y = (100 – 2m)x + 30. Biết rằng đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn. Tìm m?

A. m < 50

B. m = 50

C. m > 50

D. m < - 50

Lời giải:

Vì đường thẳng trên tạo với trục Ox một góc nhọn nên:

100 – 2m > 0 ⇔ -2m > -100 ⇔ m < 50

Chọn đáp án A.

II.Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút).

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có  = α Xét tam giác vuông OAB , ta có  (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)

Khi đó số đo góc α là α = 45

Câu 2: Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1

Vậy a = 1, b = 0.

Câu 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(1; 2) và có hệ số góc là 3.

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc 3 (tức là a = 3) có phương trình dạng:

y = 3x + b.

Vì phương trình này đi qua điểm M(1; 2) nên có:

2 = 3.1 + b

$\iff$ b = 2 − 3

$\iff$ b = −1.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 3x – 1.

Câu 4:

a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).

Lời giải

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.

a) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 1 = a . 2 $\iff$ a = $\frac{1}{2}$.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = $\frac{1}{2}$.

b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: − 2 = a . 1$\iff$ a = − 2.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; − 2) là a = − 2.

Câu 5: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(4;0) và B(0;3). Khi đó, hãy tính:

a) Vẽ đồ thị hàm số (d) vừa tìm được và tính góc α tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox.

b) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).

c) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Vì (d) đi qua A(4; 0) nên tọa độ A phải thỏa mãn phương trình:

y = ax + b

$\iff$4a + b = 0 (1)

Tương tự (d) đi qua B(0;3) nên tọa độ B phải thỏa mãn phương trình:

y = ax + b

$\iff$ 3 = a . 0 + b

$\iff$ b = 3.

Thay b = 3 vào (1) ta được a = $-\frac{3}{4}$.

Do đó đồ thị hàm số tìm là: $y=-\frac{3}{4}x+3$.

* Vẽ đồ thị hàm số

+ Cho x = 0 thì y = 3 ta được điểm A(4; 0).

+ Cho y = 0 thì x = 4 ta được điểm B(0; 3).

Do đó, đồi thị hàm số đi qua 2 điểm A(4; 0) và B(0; 3).

Ta có đồ thị như sau:

− Xét tam giác AOB vuông tại O, ta có:

 $\tan \widehat{OAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{3}{4}\approx \tan {36}^{o}52\text{'}$

$\Rightarrow \widehat{OAB}\simeq {36}^{o}52\text{'}$

$\Rightarrow \alpha ={180}^o-{36}^{o}52\text{'}={143}^{o}8\text{'}$

Vây góc tạo bởi (d) và trục hoành Ox (tức đường thẳng y = 0) là α = 143^o8'.

b) Vẽ OH ⊥ AB.

Tam giác OAB là tam giác vuông tại O, ta có OH ⊥ AB nên:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{3^2}=\frac{25}{144}$

$\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}=\mathrm{2,4}$.

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng (d) là 2,4 (đvđd).

c) Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên ta có:

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.3=6$.

Vậy diện tích tam giác OAB là 6 (đvdt).

Câu 6: Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3

a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 6).

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải:

Hàm số y = ax + 3 là hàm số bậc nhất nên a ≠ 0

a) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 6) nên:

b) Vẽ đồ thị:

- Cho x = 0 thì y = 3 ta được B(0; 3).

Nối A, B ta được đồ thị hàm số

Câu 7: Cho hàm số y = -2x + 3

a) Vẽ đồ thị của hàm số

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox (làm tròn đến phút)

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số:

- Cho x = 0 thì y = 3 ta được A(0; 3)

b) Gọi góc hợp bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox là α

Câu 8: Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút).

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có  = α Xét tam giác vuông OAB , ta có  (1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)

Khi đó số đo góc α là α = 45⁰

Câu 9: Cho (d): y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Lời giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1

Vậy a = 1, b = 0.

Câu 10:

Tim m để đường thẳng 2mx + 3y = 4 (m ≠ 0) (d) và (3m – 1)x + 2y = 5 (m ≠ 0) (d’) có cùng hệ số góc.

Lời giải:

Ta có : Phương trình đường thẳng (d) : 

Phương trình đường thẳng (d’) :

Hai đường thẳng (d) và (d’) có cùng hệ số góc khi và chỉ khi:

III.Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho các điểm và nằm trên đường thẳng có hệ số góc là . Tìm giá trị của m

Câu 2: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số góc bằng a thì đường thẳng đó có phương trình là y - y1 = a(x - x1)

Câu 3: Đường thẳng y = x – 2m + 3 đi qua điểm A (−2; 4) có hệ số góc bằng bao nhiêu?

Câu 4: Cho đường thẳng d: y = mx +. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm A (3; 0)

Câu 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua B (−1; 1) và tạo với trục Ox một góc bằng 45⁰

Câu 6: Viết phương trình đường thẳng d biết d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một góc bằng 135⁰ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

Câu 7: Tìm hệ số góc của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1) và điểm B(−1;2)

Câu 8: Cho đường thẳng d: y = (2m – 1)x +2$\sqrt{5}$. Tính tan với là góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2$\sqrt{5}-\sqrt{2}$)

Câu 9: Cho đường thẳng d: y = (m + 2)x – 5 có hệ số góc là k = −4. Tìm m

Câu 10: Cho đường thẳng  có hệ số góc là k = −2. Tìm m