Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (2022) - Toán 9

Chuyên đề Hệ thức Vi – ét và ứng dụng - Toán 9

A.Lý thuyết

1. Hệ thức Vi – ét

Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều có thể viết được dưới dạng:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}};{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

Định lí Vi – ét

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

$\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}$

Nhận xét: Nhờ định lý Vi – ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thế suy ra nghiệm kia.

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét.

a) Ứng dụng trong giải phương trình (bằng cách nhẩm miệng)

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ =$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁; x₂. Khi đó:

Lời giải:

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c (a ≠ 0).

Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình thì:

Chọn đáp án A.

Câu 2: Chọn phát biểu đúng: Phương trình ax² + bx + c (a ≠ 0) có a - b + c = 0 . Khi đó:

Lời giải:

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hai số có tổng là S và tích là P với S² ≥ 4P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây:

A. X2 - PX + S = 0

B. X2 - SX + P = 0

C. SX2 - X + P = 0

D. X2 - 2SX + P = 0

Lời giải:

Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X² - SX + P = 0 (ĐK: S² ≥ 4P)

Chọn đáp án B.

Câu 4: Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x² - 6x + 7 = 0

A. 1/6

B. 3

C. 6

D. 7

Lời giải:

Phương trình x² - 6x + 7 = 0 có Δ = (-6x)² - 4.1.7 = 8 > 0 nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có: x₁ + x₂ =  = 6 ⇔ x₁ + x₂ = 6

Chọn đáp án C.

Câu 5: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình x² - 5x + 2 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x₁² + x₂²

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

Lời giải:

Phương trình x² - 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x₁; x₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Chọn đáp án B.

Câu 6: Biết có hai số u và v thỏa mãn điều kiện: u + v = 12 và u.v = 27. Biết u < v. Tính u².v?

A. 54

B. 27

C. 144

D. 72

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Câu 7: Biết có hai số u và v thỏa mãn u – v = 10 và u.v = 11. Tính |u+ v| ?

A. 11

B. 12

C. 10

D. 13

Lời giải:

Ta có: u.v =11 nên u.(-v) = -11 (1)

Từ u – v = 10 nên u + (- v) = 10 (2)

Khi đó; u và (-v) là nghiệm phương trình:

x² - 10x - 11 = 0 (*)

Do a - b + c = 1 -(-10 ) + (-11) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm là:

x₁ = -1 và x₂ = 11

* Trường hợp 1: Nếu u = -1 và –v = 11

=> v = -11 nên u + v = -12

* Trường hợp 2: nếu u = 11 và –v = -1 thì v = 1

Suy ra: u + v = 12

Trong cả 2 trường hợp ta có: |u + v| = 12

Chọn đáp án B.

Câu 8: Cho phương trình x² - 4x + m + 1= 0 . Tìm m để phương trình trên có nghiệm và x₁. x₂ = 4. Tìm m ?

A. m = - 3

B. Không có giá trị nào

C. m =3

D. m = 2

Lời giải:

Ta có: Δ' = (-2)² - 1.(m + 1) = 3 - m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì Δ' = 3 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3 .

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁; x₂ .

Theo hệ thức Vi-et ta có: x₁.x₂ = m + 1

Để x₁. x₂ = 4 thì m + 1 = 4 nên m = 3 ( thỏa mãn điều kiện)

Chọn đáp án C.

Câu 9: Cho phương trình x² - 4x + (2m - 2) = 0.Tìm m để phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt ?

A. m = 0

B. m =1

C. m = -1

D. Không có giá trị nào thỏa mãn

Lời giải:

Ta có:

Δ' = (-2)² - 1.(2m - 2) = 2 - 2m

Để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

Suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho phương trình x² - (m + 1)x + m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án A.

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Phương trình x² + (2m + 1)x + 3m = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là x₁ = -3. Tìm nghiệm x₂.

Lời giải:

Ta có: a = 1; b = 2m + 1; c = 3m.

$∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(2\mathrm{m}+1\right)}^2-4.1.3\mathrm{m}=4{\mathrm{m}}^2-8\mathrm{m}+1$

Vì phương trình có một nghiệm ${\mathrm{x}}_1=-3$ nên thay x = -3 vào phương trình ta có:

${\left(-3\right)}^2+\left(2\mathrm{m}+1\right).\left(-3\right)+3\mathrm{m}=0\iff 9-6\mathrm{m}-3+3\mathrm{m}=0\iff -3\mathrm{m}+6=0\Rightarrow \mathrm{m}=\left(-6\right):\left(-3\right)=2$

Với m = 2 $\Rightarrow ∆=4.2^2-8.2+1=1$> 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(2\mathrm{m}+1\right)}{1}=\frac{-\left(2.2+1\right)}{1}=5\Rightarrow {\mathrm{x}}_2=-5-{\mathrm{x}}_1=-5-\left(-3\right)=-2$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là -2.

Câu 2: Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a –b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

b) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-7=0$

Lời giải:

a) ${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5=0$

Ta có: a = 1; b = -4; c = -5

Ta có a – b + c = 1 – (-4) – 5 = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=-1;{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(-5\right)}{1}=5$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là S = {-1; 5}.

b) ${\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-7=0$

Ta có: a = 1; b = 6; c = -7

Ta có: a + b + c = 1 + 6 + (-7) = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

${\mathrm{x}}_1=1;{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{-7}{1}=-7$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {-7; 1}.

Câu 3: Tìm hai số u, v biết:

u + v = 32; u.v = 231

Lời giải:

S = 32; P = 231 ⇒ S² – 4P = 32² – 4.231 = 100 > 0

⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 32x + 231 = 0.

Ta có: Δ = (-32)² – 4.231 = 100 > 0

⇒ PT có hai nghiệm:

${\mathrm{x}}_1=\frac{32+\sqrt{100}}{2.1}=21;{\mathrm{x}}_2=\frac{32-\sqrt{100}}{2.1}=11$

Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21.

Câu 4: Tìm giá trị của m để phương trình ${\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+4\mathrm{m}=0$ có hai nghiệm phân biệt ${\mathrm{x}}_1;{\mathrm{x}}_2$ thỏa mãn $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$.

Lời giải:

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-1\right)}^2-1.4\mathrm{m}=1-4\mathrm{m}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

$∆\text{'}>0\iff 1-4\mathrm{m}>0\iff 4\mathrm{m}<1\iff \mathrm{m}<\frac{1}{4}$

Áp dụng định lý Vi – ét cho phương trình ta có:

${\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{2}{1}=2$ (1)

Theo đề bài lại có: $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=2\\ 3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5\end{array}$

Giải hệ phương trình ta được: $\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1=\frac{5}{2}\\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-1}{2}\end{array}$

Mà cũng theo định lý Vi – ét

${\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{4\mathrm{m}}{1}=4\mathrm{m}\Rightarrow \frac{5}{2}.\left(\frac{-1}{2}\right)=4\mathrm{m}\iff \frac{-5}{4}=4\mathrm{m}\iff \mathrm{m}=\frac{-5}{4}:4=\frac{-5}{16}$

Vậy $\text{m=}\frac{-5}{16}$ thì phương trình có hai nghiệm ${\mathrm{x}}_1;{\mathrm{x}}_2$ thỏa mãn $3{\mathrm{x}}_1+5{\mathrm{x}}_2=5$.

Câu 5:Giải phương trình rồi kiểm nghiệm hệ thức vi–ét:

a) $5x^2+2x-16=0$

b) $3x^2-2x-5=0$

c) $\frac{1}{3}{x}^2+2x-\frac{16}{3}=0$

d) $\frac{1}{2}{x}^2-3x+2=0$

Lời giải:

a) Phương trình $5x^2+2x-16=0$có hệ số a = 5; b = 2; c = –16

Ta có: $\Delta \text{'}=1^2-5.\left(-16\right)=1+80=81>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-1+9}{5}=\frac{8}{5};x_1=\frac{-1-9}{5}=-2$

Kiểm tra Hệ thức Vi – ét

$x_1+x_2=\frac{8}{5}+\left(-2\right)=\frac{-2}{5}=\frac{-b}{a}$

$x_1.x_2=\frac{8}{5}.\left(-2\right)=\frac{-16}{5}=\frac{c}{a}$

b) Phương trình $3x^2-2x-5=0$có hệ số a = 3; b = –2; c = –5.

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-1\right)}^2-\left(-5\right).3=1+15=16>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{1+\sqrt{16}}{3}=\frac{5}{3};x_2=\frac{1-\sqrt{16}}{3}=\frac{-3}{3}=-1$

Kiểm tra hệ thức Vi – et

$x_1+x_2=\frac{5}{3}+\left(-1\right)=\frac{2}{3}=\frac{-b}{a}$;

$x_1.x_2=\frac{5}{3}.\left(-1\right)=\frac{-5}{3}=\frac{c}{a}$

c) Phương trình $\frac{1}{3}{x}^2+2x-\frac{16}{3}=0$

$\iff x^2+6x-16=0$ có hệ số a = 1; b = 6; c = –16

$\Delta \text{'}=3^2-1.\left(-16\right)=25>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{1}=2;x_2=\frac{-3-\sqrt{25}}{1}=-8$

Kiểm tra hệ thức Vi – et

$x_1+x_2=2+\left(-8\right)=-6=\frac{-b}{a}$

$x_1.x_2=2.\left(-8\right)=-16=\frac{c}{a}$

d) Phương trình $\frac{1}{2}{x}^2-3x+2=0$

$\iff x^2-6x+4=0$có hệ số a = 1; b = –6; c = 4

Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-3\right)}^2-1.4=9-4=5>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{1}=3+\sqrt{5};x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{1}=3-\sqrt{5}$

Kiểm tra hệ thức Vi – et

$x_1+x_2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}=3+3=6=\frac{-b}{a}$

$x_1.x_2=\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)=9-5=4=\frac{4}{1}$.

Câu 6:Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi–ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình

a) $2x^2-7x+2=0$

b) $2x^2+9x+7=0$

c) $\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+4x+2+\sqrt{2}=0$

d) $1,4x^2-3x+1,2=0$

e) $5x^2+x+2=0$

Lời giải:

a) $2x^2-7x+2=0$

Ta có:Δ =(–7)² –4.2.2 =49 –16 =33 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi–ét, ta có:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{7}{2};x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{2}=1$

b) $2x^2+9x+7=0$

Δ = 9² – 4.2.7 = 81 – 56 = 25 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi – et ta có:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-9}{2}$

$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{7}{2}$

c) $\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+4x+2+\sqrt{2}=0$

Ta có: $\Delta \text{'}=2^2-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)=4-4-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

$=2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{6}>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi – ét ta có:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-4}{2-\sqrt{3}}=-4\left(2+\sqrt{3}\right)$

$x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}=\frac{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=4+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

d) $1,4x^2-3x+1,2=0$

Ta có : Δ = (–3)² –4.1,4.1,2 =9 – 6,72 =2,28 >0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Theo hệ thức Vi–ét, ta có:

$x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{3}{1,4}=\frac{15}{7};x_1.x_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{7}$

e) $5x^2+x+2=0$

Δ = 1² –4.5.2 = 1 – 40 = –39 < 0

Phương trình vô nghiệm.

Câu 7:Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $7x^2-9x+2=0$

b) $23x^2-9x-32=0$

c) $1975x^2+4x-1979=0$

Lời giải:

a) Phương trình 7x² –9x +2 = 0

có hệ số a = 7, b = –9, c = 2

Ta có: a + b + c = 7 + (–9) + 2 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ =$\frac{c}{a}=\frac{2}{7}$

b) Phương trình 23x² – 9x – 32 = 0

có hệ số a = 23, b = –9, c = –32

Ta có: a – b +c = 23 – (–9) + (–32) =0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁= –1, x₂ = $\frac{-c}{a}=\frac{-\left(-32\right)}{23}=\frac{32}{23}$.

c) Phương trình 1975x² + 4x –1979 = 0

có hệ số a = 1975, b = 4, c = –1979

Ta có: a + b + c =1975 + 4 + (–1979) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ =$\frac{c}{a}=\frac{-1979}{1975}$

Câu 8:Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) $\left(5+\sqrt{2}\right)x^2+\left(5-\sqrt{2}\right)x-10=0$

b) $\frac{1}{3}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}=0$

c) $31,1x^2-50,9x+19,8=0$

Lời giải:

a) Phương trình$\left(5+\sqrt{2}\right)x^2+\left(5-\sqrt{2}\right)x-10=0$

có hệ số a = $5+\sqrt{2}$; b =$5-\sqrt{2}$ ; c = –10

Ta có: a + b + c =  $5+\sqrt{2}$+ $5-\sqrt{2}$– 10 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1, x₂ = $\frac{c}{a}=\frac{-10}{5+\sqrt{2}}$.

b) $\frac{1}{3}{x}^2-\frac{3}{2}x-\frac{11}{6}=0$

$\iff 2x^2-9x-11=0$

có hệ số a = 2; b = –9; c = –11

Ta có: a – b + c = 2 – (–9) + (–11) = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = –1, x₂ = $\frac{-c}{a}=\frac{-\left(-11\right)}{2}=\frac{11}{2}$.

c) Phương trình 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0

⇔ 311x² – 509x +198 = 0

có hệ số a = 311, b = –509, c = 198

Ta có: a + b + c = 311 + (–509) + 198 = 0

Suy ra nghiệm của phương trình là x₁ = 1 , x₂ = $\frac{c}{a}=\frac{198}{311}$

Câu 9:

a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x² + 2x – 21 =0 có một nghiệm là –3. Hãy tìm nghiệm kia

b) Chứng tỏ rằng phương trình –4x² – 3x +115=0 có một nghiệm là 5. Hãy tìm nghiệm kia

Lời giải:

a) Thay x = –3 vào vế trái của phương trình, ta có:

3.(–3)² + 2(–3) – 21 = 27 – 6 – 21 = 0

Vậy x = –3 là nghiệm của phương trình 3x² + 2x – 21 =0

Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{c}{a}$ = $\frac{-21}{3}$= –7 ⇒ x₂ =$\frac{-7}{x_1}$ =$\frac{-7}{-3}$ =$\frac{7}{3}$

Vậy nghiệm còn lại là x =$\frac{7}{3}$ .

b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình, ta có:

–4.5² – 3.5 + 115 = –100 – 15 + 115 =0

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình –4x² – 3x + 115=0

Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ = $\frac{c}{a}=\frac{-115}{4}$⇒ 5x₂ = $\frac{-115}{4}$⇒ x₂ = $\frac{-23}{4}$

Vậy nghiệm còn lại là x = $\frac{-23}{4}$

Câu 10:Dùng hệ thức Vi–ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình x² + mx – 35 = 0 có nghiệm x₁ = 7

b) Phương trình x² – 13x + m = 0 có nghiệm x₁ = 12,5

c) Phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có nghiệm x₁ = –2

d) Phương trình 3x² – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x₁ =$\frac{1}{3}$

Lời giải:

a) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{c}{a}=$–35

Suy ra 7x₂ = –35 ⇔ x₂ = –5

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$ –m

Suy ra: m = –7 + 5 ⇔ m = –2

Vậy với m = –2 thì phương trình x² + mx – 35 = 0 có hai nghiệm x₁ = 7, x₂ = –5

b) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$13

Suy ra 12,5 + x₂ = 13 ⇔ x₂ = 0,5

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{c}{a}=$m

Suy ra: m = 12,5.0,5 ⇔ m = 6,25

Vậy với m = 6,25 thì phương trình x² – 13x + m = 0 có hai nghiệm

x₁ = 12,5 ,x₂ = 0,5

c) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{-b}{a}=$$\frac{-3}{4}$

Suy ra: –2 + x₂ = $\frac{-3}{4}$⇔ x₂ = $\frac{-3}{4}$+ 2 =$\frac{5}{4}$

Cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =  $\frac{c}{a}=\frac{-m^2+3m}{4}$

Suy ra: –2. $\frac{5}{4}$=$\frac{-m^2+3m}{4}$ ⇔ m² – 3m – 10 =0

Δ= (–3)² – 4.1.(–10) = 9 + 40 = 49

$m_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3+\sqrt{49}}{2}=5$

$m_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{3-\sqrt{49}}{2}=-2$

Vậy với m = 5 hoặc m = –2 thì phương trình 4x² + 3x – m² + 3m = 0 có hai nghiệm $x_1=-2;x_2=\frac{5}{4}$.

d) Theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁x₂ =$\frac{5}{3}$

Suy ra:$\frac{1}{3}$.x₂ = $\frac{5}{3}$⇔ x₂ =$\frac{5}{3}$: $\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$.3 = 5

cũng theo hệ thức Vi–ét ta có: x₁ + x₂ =$\frac{2\left(m-3\right)}{3}$

Suy ra:  $\frac{1}{3}$+ 5 =$\frac{2\left(m-3\right)}{3}$ ⇔ 2(m – 3) = 16 ⇔ m– 3 = 8 ⇔ m = 11.

Vậy với m = 11 thì phương trình 3x² –2(m –3)x +5 =0 có hai nghiệm x₁ = 1/3 , x₂ = 5.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình :

a) 5 + 2x – 4 = 0                 

b) 4 – 6x + 4 = 0 

Câu 2: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) 7 + 3x – 4 = 0 ;

b) 4 – (5 + ) x + 1 +  = 0.

Câu 3: Cho phương trình  + 2(m + 1)x + 2m – 1 =0(1),trong đó m là tham số.

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

Câu 4:Cho hàm số y = 2.

a) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số trên với đổ-thị hàm số y = 3x – 1.

b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2 cất đồ thị hàm số y = 5x + 9 tại hai điểm nằm về hai phía đối với trục Oy.

Câu 5: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình :

a) 3 + 5x – 12 = 0;         

b) 3 – 60x + 41 = 0 ;

c) 13 + 7x + 4 = 0 ;

d) -6 – 15x + 31 = 0 .

Câu 6: Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của các phương trình :

a) 2 + 9x-11 =0;

b)  – (  + )x +  = 0 ;

c)  – 2x – 15 = 0 ;

d)  – 10x + 24 = 0.

Câu 7: Cho parabol (P) : y =  và đường thẳng (d) : y = 4mx – 4 + 1.

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.

b) Gọi ,  là hoành độ của A, B. Tính 

c) Tính toạ độ trung điểm I của AB theo m.

Câu 8: Cho phương trình  – (2m – 1)x –  + m – 1 =0, trong đó m là tham số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.

b) Gọi ,  là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị của m sao cho  đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 9: Tìm m để phương trình  – (m – 5)x – 2 = 0 có hại nghiệm ,  thoả mãn  .

Câu 10: Tìm m để phương trình  – ( – 2m – 3)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm đối nhau.