Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: a) sin B = sin(A + C); b) cosC = – cos(A + B + 2C)

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1:Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) sin B = sin(A + C);

b) cosC = – cos(A + B + 2C);

c) $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$ ;

d) $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$ .

Lời giải:

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

a) Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C).

b) Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C

Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.

Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).

c) Ta có: $\frac{A+B+C}{2}=\frac{\pi }{2}$ , suy ra $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}$ .

Nên $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$ .

d) Ta có: $\frac{A+B-2C}{2}=\frac{A+B+C-3C}{2}=\frac{\pi -3C}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{3C}{2}$ .

Suy ra $\tan \frac{A+B-2C}{2}=\cot \frac{3C}{2}$ .