Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 64 trang 15 Sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Chứng minh:

$x+2\sqrt{2x-4}={\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

với $x\ge 2$

b) Rút gọn biểu thức:

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$

với $x\ge 2$

Lời giải:

a) Xét VP = ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+{\left(\sqrt{x-2}\right)}^2$

$\iff$VP = 2 $+2\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+x-2$

$\iff VP=\left(2-2\right)+x+2\sqrt{2\left(x-2\right)}\iff VP=x+2\sqrt{2x-4}=VT$

  (điều phải chứng minh).

b) Theo câu a ta có:

$x+2\sqrt{2x-4}={\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2$

Lại có: $x-2\sqrt{2x-4}$

$=x-2-2\sqrt{2}.\sqrt{x-2}+2$

$={\left(\sqrt{x-2}\right)}^2-2.\sqrt{x-2}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)}^2$

Ta có: $\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right)}^2}=\left.\sqrt{2}+\sqrt{x-2}\right|+\left.\sqrt{x-2}-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}+\sqrt{x-2}+\left.\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right|$

*) Nếu $\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\ge 0$ thì

$0\le \sqrt{x-2}\le \sqrt{2}\iff 0\le x-2\le 2\iff 2\le x\le 4$

Với $2\le x\le 4$ thì

$\left.\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right|=\sqrt{2}-\sqrt{x-2}$

Ta có:

$\sqrt{2}+\sqrt{x-2}+\sqrt{2}-\sqrt{x-2}=2\sqrt{2}$

* Nếu $\sqrt{2}-\sqrt{x-2}<0$ thì

$\sqrt{x-2}>\sqrt{2}\iff x-2>2\iff x>4$

Với x > 4 thì $\left.\sqrt{2}-\sqrt{x-2}\right|=\sqrt{x-2}-\sqrt{2}$

Ta có:

$\sqrt{2}+\sqrt{x-2}-\sqrt{2}+\sqrt{x+2}=2\sqrt{x-2}$

Vậy

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ = 2  

nếu $2\le x\le 4$

Và

$\sqrt{x+2\sqrt{2x-4}}+\sqrt{x-2\sqrt{2x-4}}$ = 2  

nếu x > 4