Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 67 trang 15 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh:

a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

Lời giải:

Kí hiệu a và b là kích thước của hình chữ nhật( a > b > 0)

Từ bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm ta có: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b

a) Với các hình chữ nhật có cùng chu vi thì $\frac{a+b}{2}$ không đổi do bằng một phần tư chu vi.

Từ bất đẳng thức $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ và $\frac{a+b}{2}$ không đổi nên $\sqrt{ab}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{a+b}{2}$ khi a = b.

Điều đó có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Với các hình chữ nhật có cùng diện tích thì tích ab không đổi nên từ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{ab}$ khi a = b. Điều đó có nghĩa là trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất.