Cho tam giác ABC. Lấy E, F, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho tứ giác BEFP là hình bình hành

Giải SBT Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 47 trang 79 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Lấy E, F, P lần lượt thuộc AB, AC, BC sao cho tứ giác BEFP là hình bình hành (Hình 45). Biết diện tích tam giác AEF và CFP lần lượt bằng 16 cm² và 25 cm².

a) Hãy chỉ ra ba cặp tam giác đồng dạng.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải:

a) Do BEFP là hình bình hành nên EF // BP, FP // BE.

Mà E ∈ AB, P ∈ BC nên EF // BC, FP // AB.

Ta có:

• EF // BC nên ∆AEF ᔕ ∆ABC;

• FP // AB nên ∆FPC ᔕ ∆ABC;

• Do ∆AEF ᔕ ∆ABC và ∆FPC ᔕ ∆ABC nên ∆AEF ᔕ ∆FPC.

b) Ta dễ dàng chứng minh được, ∆AEF ᔕ ∆ABC thì $\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}={\left(\frac{EF}{BC}\right)}^2$

Suy ra $\sqrt{\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}}=\frac{EF}{BC}$ (1).

Ta cũng có ∆FPC ᔕ ∆ABC nên $\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta ABC}}={\left(\frac{CP}{BC}\right)}^2$

Suy ra $\sqrt{\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta \text{ABC}}}}=\frac{CP}{BC}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có:

$\sqrt{\frac{S_{\Delta AEF}}{S_{\Delta ABC}}}+\sqrt{\frac{S_{\Delta FPC}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\frac{EF}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BP}{BC}+\frac{CP}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$ (do BEFP là hình bình hành nên EF = BP)

Vậy S_ABC = 81 m².