Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB

Giải Vở thực hành Toán 8 Luyện tập chung trang 49

Bài 4 trang 50 vở thực hành Toán 8 Tập 1:Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều.

Lời giải:

(H.3.17). a) Do MR // AP nên tứ giác APMR là hình thang.

Ta có $\widehat{A}=60°$ (do ∆ABC đều).

Do MP // BC nên $\widehat{B}=\widehat{APM}=60°.$ Từ đó suy ra $\widehat{A}=\widehat{APM}$ nên APMR là hình thang cân.

b) Tương tự câu a, ta có các tứ giác BQMP và CRMQ là những hình thang cân.

Do APMR, BQMP và CRMQ là những hình thang cân, suy ra RP = AM, PQ = BM, QR = CM (hai đường chéo của hình thang cân).

Chu vi của tam giác PQR là

PQ + RP + QR = BM + AM + CM.

c) Tam giác PQR là tam giác đều có nghĩa là PQ = QR = RP, tức là MB = MC = MA.

Vậy M cách đều ba đỉnh A, B, C tức M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

*Phương pháp giải

*Lý thuyết:

1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi làđường trung trựccủa tam giác đó.

Chú ý:Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.