Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Giải Toán 10 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 12 trang 107 Toán lớp 10 Đại số

Bài 12 trang 107 Toán lớp 10 Đại số:

b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, $\forall x$

Lời giải:

Đặt VT = f(x) = b²x² – (b² + c² – a²)x + c²

Biệt thức của tam thức f(x)

= (b² + c² – a²)² – 4b²c²

= (b² + c² – a² + 2bc)(b² + c² – a² − 2bc)

= [(b + c)² – a²][(b − c)² – a²]

= (b + a + c).(b + c − a)(b – c + a)(b – c – a)

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta có:

b < c + a suy ra b – c – a < 0

c < a + b suy ra b – c + a > 0

a < b + c suy ra b + c – a > 0

a, b, c > 0 suy ra a + b + c > 0

Suy ra, vì vậy f(x) cùng dấu với b² $\forall x$ hay f(x) > 0 (do b² > 0 với b là độ dài cạnh của tam giác)

Nghĩa là: b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0 $\forall x$