Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) hãy xét dấu

Giải Toán 10 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 11 trang 107 Toán lớp 10 Đại số

Bài 11 trang 107 Toán lớp 10 Đại số:

a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a² – b² = (a – b)(a + b) hãy xét dấu

f(x) = x⁴ – x² + 6x – 9

và $g\left(x\right)=x^2-2x-\frac{4}{x^2-2x}$

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương tình sau

x(x³ – x + 6) > 9.

Lời giải:

a) +) Ta có:

f(x) = x⁴ – x² + 6x – 9 = x⁴ – (x² – 6x + 9)

= x⁴ – (x – 3)²

= (x² – x + 3).(x² + x – 3)

Tam thức x² – x + 3 có $\Delta =-11<0$, a = 1 > 0 nên x² – x + 3 > 0 với mọi x thuộc R.

Tam thức x² + x – 3 có hai nghiệm

$x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra:

f (x) > 0 khi $x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$ hoặc $x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

f(x) < 0 khi $\frac{-1-\sqrt{13}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$

+) Ta có:

$g\left(x\right)=x^2-2x-\frac{4}{x^2-2x}=\frac{{\left(x^2-2x\right)}^2-2^2}{x^2-2x}$ (điều kiện: x ≠ 0; x ≠ 2)

Suy ra $g\left(x\right)=\frac{\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2-2x-2\right)}{x^2-2x}$

Tam thức x² – 2x + 2 có $\Delta =-4<0$, hệ số a = 1 > 0 nên x² – 2x + 2 > 0 với mọi x thuộc tập số thực.

Tam thức x² – 2x – 2 có hai nghiệm là $x_1=1-\sqrt{3},x_2=1+\sqrt{3}$

Tam thức x² – 2x có hai nghiệm là x₁ = 0; x₂ = 2.

Lập bảng xét dấu:

Vậy g(x) < 0 với $x\in \left(1-\sqrt{3};0\right)\cup \left(2;1+\sqrt{3}\right)$

g(x) > 0 với $x\in \left(-\infty ;1-\sqrt{3}\right)\cup \left(0;2\right)\cup \left(1+\sqrt{3};+\infty \right)$

b) x(x³ – x + 6) > 9 tương đương với  x⁴ – x² + 6x – 9 > 0

hay f(x) > 0

Theo câu a, 

f(x) > 0 khi và chỉ khi $\begin{array}{l}x<\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\\ x>\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\end{array}$

Mà x thuộc tập số thực Z nên tập nghiệm nguyên của bất phương trình là 

$S=\left.x\in \mathbb{Z}|x\in \left(-\infty ;-3\right]\cup \left.2;+\infty \right)\right\}$