Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

Giải Toán 10 Ôn tập chương 4

Video Giải Bài 6 trang 106 Toán lớp 10 Đại số

Bài 6 trang 106 Toán lớp 10 Đại số:

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge 6$

Lời giải:

+) Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}$

$=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)$

$=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)$

+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương

$\frac{a}{c}$ và $\frac{c}{a}$ ta có: 

$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{a}}=2\cdot \sqrt{1}=2$

$\frac{b}{a}$ và $\frac{a}{b}$ ta có:

$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=2\cdot \sqrt{1}=2$

$\frac{c}{b}\text{ và }\frac{b}{c}\text{ ta có:}\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{\frac{c}{b}\cdot \frac{b}{c}}=2\cdot \sqrt{1}=2$

+) Cộng vế với vế của bất đẳng thức, ta được:

$\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge 2+2+2=6$ (điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra khi

$\begin{array}{l}\frac{a}{c}=\frac{c}{a}\\ \frac{b}{a}=\frac{a}{b}\\ \frac{c}{b}=\frac{b}{c}\end{array}\iff \begin{array}{l}{a}^2=c^2\\ b^2=a^2\\ c^2=b^2\end{array}$

Tương đương với a² = b² = c² hay a = b = c (do a, b, c > 0).

Vậy $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge 6$