Bài 7 trang 25 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 7 trang 25 Toán 11 Tập 2: Công thức $h=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P}{P_0}$ là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao h so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng kilômét) theo áp suất không khí P tại điểm đó và áp suất P₀ của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng Pa – đơn vị áp suất, đọc là Pascal).

(Nguồn: https://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6)

a) Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}{P}_0$ thì máy bay đang ở độ cao nào?

b) Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng $\frac{4}{5}$ lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B. Ngọn núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu kilômét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Lời giải:

a) Độ cao của máy bay khi áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}{P}_0$là:

$h=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P}{P_0}=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{\frac{1}{2}{P}_0}{P_0}=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{1}{2}\approx \mathrm{5,84}$ (km)

Vậy nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{1}{2}{P}_0$ thì máy bay đang ở độ cao khoảng 5,84 m.

b) Độ cao của ngọn núi A là: $h_A=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_A}{P_0}$.

Độ cao của ngọn núi B là: $h_B=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_B}{P_0}$.

Áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi A bằng $\frac{4}{5}$ lần áp suất không khí tại đỉnh của ngọn núi B nên ta có: $P_A=\frac{4}{5}{P}_B\iff \frac{P_A}{P_B}=\frac{4}{5}.$

Ta có $h_A-h_B=\left(-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_A}{P_0}\right)-\left(-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_B}{P_0}\right)$

$=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_A}{P_0}+\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_B}{P_0}$

$=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\left(\frac{P_A}{P_0}:\frac{P_B}{P_0}\right)=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{P_A}{P_B}$

$=-\mathrm{19,4}.\text{\hspace{0.17em}log}\frac{4}{5}\approx \mathrm{1,88}$ (km).

Vậy ngọn núi A cao hơn và cao hơn khoảng 1,88 km.