Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giới hạn của hàm số

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài giảng Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giải Toán 11 trang 71 Tập 1

Hoạt động khởi động trang 71 Toán 11 Tập 1:Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số$y=\frac{1}{x^2}$(x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Lời giải:

Hình chữ nhật OHMK có các kích thước lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm M.

Ta có: điểm M luôn nằm trên đồ thị $y=\frac{1}{x^2}\left(x>0\right)$

Đặt $M\left(x;\frac{1}{x^2}\right)\left(x>0\right)$

Khi đó diện tích hình chữ nhật OHMK là: $x.\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$.

Khi H gần tiến đến gốc tọa độ nghĩa là x dần tiến tới 0 thì diện tích hinh chữ nhật sẽ là một số rất lớn.

Khi H iến xa sang phía bên phải thì x dần tiến tới +∞ thì diện tích hình chữ nhật sẽ giảm dần về 0.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Hoạt động khám phá 1 trang 71 Toán 11 Tập 1:Xét hàm số$y=f\left(x\right)=\frac{2x^2-2}{x-1}$

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

x	0	0,5	0,9	0,99	0,999	1	1,001	1,01	1,1	1,5	2
f(x)	2	3	3,8	3,98	3,998	||	4,002	4,02	4,2	5	6

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Lời giải:

a) Khi x càng gần đến 1 thì giá trị của f(x) gần đến giá trị 4.

b) Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoàng thì điểm P gần về điểm (0; 4).

Giải Toán 11 trang 72 Tập 1

Thực hành 1 trang 72 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-x\right)$;

b) $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+1}$.

Lời giải:

a) Hàm số f(x) = 2x² – x xác định trên ℝ.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ∈ ℝ với mọi n và x_n → 3 khi n → +∞. Ta có: $\underset{x_n\to 3}{\lim }\left(2x_n^2-x_n\right)=\underset{x_n\to 3}{\lim }\left(2x_n^2\right)-\underset{x_n\to 3}{\lim }\left(x_n\right)={2.3}^2-3=15$.

Vậy $\underset{x\to 3}{\lim }\left(2x^2-x\right)=15$.

b) Hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x+1}$ xác định trên tập ℝ\{– 1}.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ∈ ℝ\{– 1} với mọi n và x_n → – 1 khi n → +∞.

Ta có:

$\underset{x_n\to -1}{\lim }\frac{x_n^2+2x_n+1}{x_n+1}=\underset{x_n\to -1}{\lim }\frac{{\left(x_n+1\right)}^2}{x_n+1}=\underset{x_n\to -1}{\lim }\left(x_n+1\right)=\underset{x_n\to -1}{\lim }{x}_n+1=\left(-1\right)+1=0$

Vậy $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Hoạt động khám phá 2 trang 72 Toán 11 Tập 1:Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) =$\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x_n) + g(x_n)].

b) Từ đó, tìm giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]}$, và so sánh với $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

+) Hàm số y = f(x) = 2x xác định trên $ℝ$.

Dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞, ta có:

limf(x_n) = lim(2x_n) = 2.limx_n = 2.1 = 2.

Suy ra$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ = 2.

+) Hàm số y = g(x) = $\frac{x}{x+1}$ xác định trên ℝ \ {2}.

Dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n ≠ – 1 với mọi n và x_n → 1 khi n → +∞, ta có:

limg(x_n) =$\lim \frac{x_n}{x_n+1}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }g\left(x\right)=\frac{1}{2}$.

a) Ta có: lim[f(x_n) + g(x_n)] = limf(x_n) + limg(x_n) = $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

b) Ta có $\text{lim[}f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\text{]=}\frac{5}{2}$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]=}\frac{5}{2}$.

Ta lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.

Vì vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\text{[}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{]=}\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Giải Toán 11 trang 73 Tập 1

Thực hành 2 trang 73 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+5x-2\right)$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}$.

Lời giải:

a)

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2+5x-2\right)=\underset{x\to -2}{\lim }{x}^2+\underset{x\to -2}{\lim }5x+\underset{x\to -2}{\lim }\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+5.\left(-2\right)-2=-8$

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=2$.

3. Giới hạn một phía

Hoạt động khám phá 3 trang 73 Toán 11 Tập 1:Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị được cho bởi bảng sau:

Khối lượng bưu kiện (100 gam)	Giá cước cận vùng (nghìn đồng)
đến 1	6
trên 1 đến 2,5	7
từ 2,5 đến 5	10

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì sao cho x_n ∈ (1; 2,5) và lim x_n = 1. Tìm lim f(x_n).

b) Giả sử $\left(x_n^{\text{'}}\right)$ là dãy số bất kì sao cho $\left(x_n^{\text{'}}\right)\in \left(0;1\right)$ và $\lim x_n^{\text{'}}=1$. Tìm $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Lời giải:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì sao cho x_n ∈ (1; 2,5) và lim x_n = 1 thì lim f(x_n) = lim 7 = 7.

b) Giả sử $\left(x_n^{\text{'}}\right)$ là dãy số bất kì sao cho $\left(x_n^{\text{'}}\right)\in \left(0;1\right)$ và $\lim x_n^{\text{'}}=1$ thì $\lim f\left(x_n^{\text{'}}\right)=6$.

c) Nhận xét: Ở ý a) ta có:

Giải Toán 11 trang 75 Tập 1

Thực hành 3 trang 75 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số

Tìm các giới hạn $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ – 1 và x_n → – 1. Khi đó f(x_n) = 1 – 2x_n nên limf(x_n) = lim(1 – 2x_n) = 3.

Vì vậy $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3$.

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > – 1 và x_n → – 1. Khi đó f(x_n) = $x_n^2+2$ nên limf(x_n) = lim($x_n^2+2$) = 3.

Vì vậy $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Vì $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=3$ nên $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=3$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hoạt động khám phá 4 trang 75 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x	10	100	1 000	10 000	100 000
y = f(x)	0,1	0,01	?	?	?

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x	– 100 000	– 10 000	– 1 000	– 100	– 10
y = f(x)	?	?	?	–0,01	–0,1

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Lời giải:

a) Với x = 1 000 suy ra $y=\frac{1}{1000}=0,001$;

Với x = 10 000 suy ra $y=\frac{1}{10000}=0,0001$;

Với x = 100 000 suy ra $y=\frac{1}{100000}=0,00001$.

Từ đó ta có bảng sau:

x	10	100	1 000	10 000	100 000
y = f(x)	0,1	0,01	0,001	0,0001	0,00001

b) Với x = – 100 000 suy ra $y=\frac{1}{-100000}=0,00001$;

Với x = – 10 000 suy ra $y=\frac{1}{-10000}=-0,0001$;

Với x = – 1 000 suy ra $y=\frac{1}{-1000}=-0,001$.

Từ đó ta có bảng sau:

x	– 100 000	– 10 000	– 1 000	– 100	– 10
y = f(x)	–0,00001	–0,0001	–0,001	–0,01	–0,1

Giải Toán 11 trang 76 Tập 1

Thực hành 4 trang 76 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x^2}{x^2+2x}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-3x^2}{x^2+2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}-3}{1+\frac{2}{x}}=-3$

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$.

Vận dụng 1 trang 76 Toán 11 Tập 1:Một cái hồ đang chứa 200m³nước mặn với nồng độ muối 10kg/m³. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m³/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

b) Tìm giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)$ và giải thích ý nghĩa.

Lời giải:

a) Trong 200m³ nước có nồng độ muối là 10kg/m³.

Do đó trong 200 m³ nước có 10.200 = 2000 kg muối.

Mỗi phút người ta bơm nước ngọt vào hồ 2m³ thì sau t phút có 200 + 2t (m³).

Khi đó nồng độ muối trong bể là:$C\left(t\right)=\frac{2000}{200+x}\left(kg/m^3\right)$.

b) $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{2000}{200+2t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{2000}{t}}{\frac{200}{t}+2}=0$.

Vậy khi bom nước ngọt vào hồ thì phải mất rất nhiều thời gian hồ mới được ngọt hóa.

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Giải Toán 11 trang 77 Tập 1

Hoạt động khám phá 5 trang 77 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x	1,1	1,01	1,001	1,0001
y = f(x)	10	100	?	?

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên phải?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

x	0,9	0,99	0,999	0,9999
y = f(x)	– 10	– 100	?	?

Từ đồ thị và bảng trên, có nhận xét gì về giá trị f(x) khi x dần tới 1 phía bên trái?

Lời giải:

a) Với x = 1,001 thì y = f(x) = $\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1,001-1}=1000$;

Với x = 1,0001 thì y = f(x) = $\frac{1}{x-1}=\frac{1}{1,0001-1}=10000$.

Khi đó ta có bảng:

x	1,1	1,01	1,001	1,0001
y = f(x)	10	100	1 000	10 000

Nhận xét: Khi x dần tới 1 phía bên phải thì f(x) tăng dần tới một giá trị rất lớn (dương vô cực).

b) Với x = 0,999 thì y = f(x) = $\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0,999-1}=-1000$;

Với x = 1,0001 thì y = f(x) = $\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0,9999-1}=-10000$.

Khi đó ta có bảng:

x	0,9	0,99	0,999	0,9999
y = f(x)	– 10	– 100	– 1 000	– 10 000

Nhận xét: Khi x dần tới 1 phía bên phải thì f(x) giảm dần tới một giá trị rất nhỏ (âm vô cực).

Giải Toán 11 trang 78 Tập 1

Thực hành 5 trang 78 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}$;

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x-1\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }2x=6;\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$

Do đó $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$ = -$\infty$.

b) Ta có: 3x – 1 = $x\left(3-\frac{1}{x}\right)$

Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3x-1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(3-\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }x.\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3-\frac{1}{x}\right)=+\infty$.

Vận dụng 2 trang 78 Toán 11 Tập 1:Xét tình huống ở hoạt động khởi động đầu bài học. Gọi x là hoành độ điểm H. Tính diện tích S(x) của hình chữ nhật OHMK theo x. Diện tích này thay đổi như thế nào khi x → 0⁺và khi x → +∞.

Lời giải:

Hình chữ nhật OHMK có các kích thước lần lượt là hoành độ và tung độ của điểm M.

Ta có x là hoành độ điểm H nên hoành độ điểm M cũng bằng x và M luôn nằm trên đồ thị $y=\frac{1}{x^2}\left(x>0\right)$ nên tọa độ điểm M là $\left(x;\frac{1}{x^2}\right)\left(x>0\right)$.

Khi đó diện tích hình chữ nhật OHMK là:$x.\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x}$.

Khi H gần tiến đến gốc tọa độ nghĩa là x dần tiến đến 0⁺ thì $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$.

Khi H tiến xa sang phía bên phải thì x dần tiến tới +∞ thì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$.

Bài tập

Giải Toán 11 trang 79 Tập 1

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)$;

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$;

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Lời giải:

a)

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)=\underset{x\to -2}{\lim }{x}^2-7.\underset{x\to -2}{\lim }x+\underset{x\to -2}{\lim }4=4-7.\left(-2\right)+4=22$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$

c)

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(3-\sqrt{x+8}\right)\left(3-+\sqrt{x+8}\right)}{\left(x-1\right)\left(3-\sqrt{x+8}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{9-x-8}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{x+8}\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}=-\frac{1}{6}$.

Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1:Cho hàm số.

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = $-x_n^2$ nên limf(x_n) = $\lim \left(-x_n^2\right)=-1$.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1$.

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = x_n nên limf(x_n) = lim(x_n) = 1.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1$.

+) Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{x}}{2}=2$.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=0$.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=1$.

Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1:Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)$;

c) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$;

b) Ta viết: $1-x^2=x^2.\left(\frac{1}{x^2}-1\right)$

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-1$

Do đó: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-\infty$.

c) Ta viết: $\frac{x}{3-x}=x.\frac{1}{3-x}$

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x=3;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$

Do đó: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x.\frac{1}{3-x}\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x.\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$.

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1:Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left(t\right)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Lời giải:

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).

Khi đó số gam muối trong 15t lít nước biển là: 30.15t (gam).

Tổng số lít nước trong hồ là: 6000 + 15t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C\left(t\right)=\frac{30.15t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Khi t → +∞ thì $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{400+t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30}{\frac{400}{t}+1}=30$.

Vậy nồng độ muối trong hồ gần đến 30gam/lít khi t → +∞.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1:Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức$\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$hay$d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số $g\left(d\right)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)$;

b) $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to f^{+}}{\lim }df.\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{1}{d-f}=+\infty$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O gần bằng tiêu cự của thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng lớn.

b) Ta có: $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng gần tiêu cự.

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$ xác định trên K hoặc trên $K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $y=f(x)$ có giới hạn hữu hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$

Kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$ thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

* Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,\underset{x\to x_0}{lim}{x}^k={x_0}^k,k\in {\mathbb{Z}}^{+}.\\ b,\underset{x\to x_0}{lim}\left[c.f(x)\right]=c.\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\end{array}$

($c\in \mathbb{R}$, nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\in \mathbb{R}$)

3. Giới hạn một phía

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói $y=f(x)$ có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì,$x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$.

Ta nói $y=f(x)$có giới hạn bên phải là số L khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì,$a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

*Chú ý:

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L\iff \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)$ thì không tồn tại $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$.

Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở Mục 2 vẫn đúng khi ta thay $x\to x_0$bằng $x\to {x_0}^{+}$hoặc $x\to {x_0}^{-}$.

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };a\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n<a$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}c=c,$$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{c}{x^k})=0$

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$.

Ta nói hàm số $f(x)$ có giới hạn bên phải là $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$ ó giới hạn bên phải là $-\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

* Chú ý:

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{Z}}^{+}.$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=+\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương chẵn.
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{x}^k=-\mathrm{\infty },$ k là số nguyên dương lẻ.
• $\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{1}{x-a}=+\mathrm{\infty },\underset{x\to a^{-}}{lim}\frac{1}{x-a}=-\mathrm{\infty }\left(a\in \mathbb{R}\right)$

Giới hạn vô cực

Nếu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L\ne 0$ và $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$hoặc $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}g(x)=-\mathrm{\infty }$thì $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}\left[f(x).g(x)\right]$ được tính như sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay ${x_0}^{+}$thành ${x_0}^{-}$(hoặc $+\mathrm{\infty }$,$-\mathrm{\infty }$)