Câu hỏi khởi động trang 49 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Câu hỏi khởi động trang 49 Toán lớp 10 Tập 1: Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm².

Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này ta giải được bài toán này như sau:

Tiến hành uốn tấm tôn ta được một rãnh dẫn nước có mặt cắt ngang với kích thước x (cm) và 32 – x (cm)

Khi đó diện tích mặt cắt ngang là (32 – 2x)x (cm²).

Để đảm bảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm² nên ta có:

(32 – 2x)x ≥ 120 ⇔ – 2x² + 32x – 120 ≥ 0.

Xét tam thức bậc hai – 2x² + 32x – 120 có:

∆’ = 16² – (-2).(-120) = 16 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm x₁ = 6, x₂ = 10.

Ta lại có hệ số a = – 2 < 0, bảng xét dấu:

Suy ra – 2x² + 32x – 120 ≥ 0 với mọi x ∈ [6; 10].

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm.

*Phương pháp giải

- Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức dạng$a{x}^2+bx+c$. Trong đó a, b, c là nhứng số cho trước với$a\ne 0$.

- Định lý về dấu của tam thức bậc hai:

Cho$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$($a\ne 0$),$\Delta =b^2-4ac$.

Nếu$\Delta <0$thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi$x\in ℝ$

Nếu$\Delta =0$thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi$x=-\frac{b}{2a}$.

Nếu$\Delta >0$thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi$x<x_1$hoặc$x>x_2$, trái dấu với hệ số a khi$x_1<x<x_2$trong đó$x_1,x_2(x_1<x_2)$là hai nghiệm của f(x).

Lưu ý:Có thể thay biệt thức$\Delta =b^2-4ac$bằng biệt thức thu gọn$\Delta \text{'}={(b\text{'})}^2-ac$.

*Lý thuyết:

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng$a{x}^2+bx+c<0$(hoặc$a{x}^2+bx+c>0;$$a{x}^2+bx+c\le 0;a{x}^2+bx+c\ge 0$), trong đó a, b, c là những số thực đã cho,$a\ne 0$.

- Giải bất phương trình bậc hai$a{x}^2+bx+c<0$thực chất là tìm các khoảng mà trong đó$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0).