Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? 

Lời giải:

a) Chuyển động của quả bóng theo quỹ đạo parabol và với mỗi thời gian t ta có được duy nhất một chiều cao h tương ứng nên ta có h = at² + bt + c với a, b, c là các hệ số và a ≠ 0.

Quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: 0,2 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 0,2 (1)

Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây nên thay t = 1 và h = 8,5 vào hàm số ta được:

8,5 = a.1² + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8,5 (2)

Quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây nên thay t = 2 và h = 6 vào hàm số ta được:

6 = a.2² + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 6 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a+b+c=8,5\\ 4a+2b+c=6\\ c=0,2\end{array}\iff \begin{array}{l}a+b+0,2=8,5\\ 4a+2b+0,2=6\\ c=0,2\end{array}\iff \begin{array}{l}a+b=8,3\\ 4a+2b=5,8\\ c=0,2\end{array}\iff \begin{array}{l}a=-5,4\\ b=13,7\\ c=0,2\end{array}$

⇒h = -5,4t² + 13,7t + 0,2.

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0 hay – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

Xét tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có:

∆ = 13,7² – 4.(-5,4).0,2 = 192,01 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm t₁ = $\frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}$, $t_2=\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$.

Ta lại có a = -5,4 < 0

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

$\iff \frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$

Lại có: thời gian t > 0

Do đó: $0<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$mà $\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}\approx 2,55$hay 0 < t < 2,55.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.