Bài 3 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 3 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các bất phương trình sau:

a) 2x² – 5x + 3 > 0;

b) – x² – 2x + 8 ≤ 0; 

c) 4x² – 12x + 9 < 0; 

d) – 3x² + 7x – 4 ≥ 0.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai 2x² – 5x + 3 có:

∆ = (-5)² – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0

Do đó tam thức có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = $\frac{3}{2}$và có hệ số a = 2 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức 2x² – 5x + 3 mang dấu “+” khi x < 1 hoặc x > $\frac{3}{2}$.

Hay 2x² – 5x + 3 > 0 khi x < 1 hoặc x > $\frac{3}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x² – 5x + 3 > 0 là $\left(-\infty ;1\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right).$

b)

Tam thức bậc hai – x² – 2x + 8 có:

∆’ = (-1)² – (-1).8 = 1 + 8 = 9 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm là x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức – x² – 2x + 8 không dương khi x ≤ – 4 hoặc x ≥ 2.

Hay – x² – 2x + 8 ≤ 0 khi x ≤ – 4 hoặc x ≥ 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – x² – 2x + 8 là (– ∞; – 4] ∪ [2; + ∞).

c)

Tam thức bậc hai 4x² – 12x + 9 có ∆’ = (– 6)² – 4 . 9 = 0.

Do đó tam thức trên có nghiệm kép là x = $\frac{3}{2}$.

Ta có hệ số a = 4 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức 4x² – 12x + 9 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left.\frac{3}{2}\right\}$và 4x² – 12x + 9 = 0 tại x = $\frac{3}{2}$.

Do đó không tồn tại giá trị nào của x để 4x² – 12x + 9 < 0

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

d)

Tam thức bậc hai – 3x² + 7x – 4 có:

∆ = 7² – 4.(-3).(-4) = 49 – 48 == 1 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = $\frac{4}{3}$và hệ số a = – 3 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Tam thức – 3x² + 7x – 4 không âm khi $1\le x\le \frac{4}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình – 3x² + 7x – 4 ≥ 0 là $\left.1;\frac{4}{3}\right]$.