Giải Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Tích của một số với một vectơ

Giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Giải Toán 10trang 88Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Hai đoàn tàu chạy song song (Hình 58). Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$lần lượt là các vectơ mô tả vận tốc của hai đoàn tàu.

Mối liên hệ giữa hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$là như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$là hai vectơ cùng phương nên $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$với k ≠ 0.

Hoạt động 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC.

Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$hay $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$.

Hoạt động 2 trang 88 Toán lớp 10 Tập 1: Gọi B là trung điểm của AC.

Quan sát vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$, nêu mối liên hệ về hướng và độ dài của vectơ $2\overrightarrow{AB}$với $\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

Giải Toán 10trang 89Tập 1

Luyện tập 1 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Tìm các số a, b biết: $\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AM};\overrightarrow{GN}=b\overrightarrow{GB}$.

Lời giải:

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AM; GN = $\frac{1}{2}$GB.

Vì AM là đường trung tuyến nên G thuộc đoạn AM

Do $\overrightarrow{AG}$và $\overrightarrow{AM}$là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Vì BN là đường trung tuyến nên G thuộc đoạn BN.

Do $\overrightarrow{GN}$và $\overrightarrow{GB}$là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow{GN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$.

Vậy a = $\frac{2}{3}$; b = $\frac{1}{2}$.

Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

$3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)$

$=3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}$

$=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-6\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}$

Vậy $3\left(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}\right)-2\left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}$.

Giải Toán 10trang 90Tập 1

Hoạt động 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$; $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$.

Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$.

Do I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IB}$.

Do đó $2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do E là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BE}$.

Do F là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CF}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}$.

$\Rightarrow 2\overrightarrow{A\text{D}}+2\overrightarrow{BE}+2\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow -\left(\overrightarrow{A\text{D}}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}\right)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow -\overrightarrow{A\text{D}}-\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\overrightarrow{GA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DA}$; $\overrightarrow{GB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{EB}$; $\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$.

Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Luyện tập 3 trang 90 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Gọi D là trung điểm của BC.

Do D là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A\text{D}}$hay $\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A\text{D}}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$.

Giải Toán 10trang 91Tập 1

Hoạt động 5 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$khác $\overrightarrow{0}$sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$với k là số thực khác 0. Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$với k là số thực khác 0. Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng phương.

Hoạt động 6 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba điểm phân biệt A, B, C.

a) Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$có cùng phương hay không?

b) Ngược lại, nếu hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$cùng phương thì ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?

Lời giải:

a) Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{AC}$là đường thẳng AC.

Do A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB trùng với đường thẳng AC.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$cùng phương.

b) Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{AC}$là đường thẳng AC.

Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$cùng phương nên giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Mà AB và AC có điểm chung là A nên AB trùng AC.

Do đó A, B, C thẳng hàng.

Luyện tập 4 trang 91 Toán lớp 10 Tập 1: Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AD}$,

b) $\overrightarrow{BD}=k\overrightarrow{DC}$.

Lời giải:

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{AD}$là hai vectơ cùng hướng và AC = $\frac{3}{4}$AD nên $\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A\text{D}}$.

Vậy k = $\frac{3}{4}$.

b)Hai vectơ $\overrightarrow{B\text{D}}$và $\overrightarrow{DC}$là hai vectơ ngược hướng và BD = 3DC nên $\overrightarrow{B\text{D}}=-3\overrightarrow{DC}$.

Vậy k = -3.

Bài tập

Giải Toán 10trang 92Tập 1

Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{PQ}$;

B. $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{NP}$;

C. $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$;

D. $\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{NP}$.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{MN}$và $\overrightarrow{PQ}$là hai vectơ ngược hướng và MN = 2PQ nên $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.

a) Xác định điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

b) Xác định điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Lời giải:

a) Ta thấy $\frac{1}{2}$> 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{AB}$cùng hướng.

Khi đó $\left.\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left.\overrightarrow{AB}\right|$hay AC = $\frac{1}{2}$AB và A, B, C thẳng hàng.

Do đó C là trung điểm của AB.

b) Ta thấy $-\frac{1}{2}<0$nên hai vectơ $\overrightarrow{AD}$và $\overrightarrow{AB}$ngược hướng.

Khi đó $\left.\overrightarrow{AD}\right|=\left.-\frac{1}{2}\right|\left.\overrightarrow{AB}\right|$hay AD = $\frac{1}{2}$AB và A, B, D thẳng hàng.

Do đó D nằm khác phía với B so với điểm A sao cho AD = $\frac{1}{2}$AB.

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$;

b) $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó PN // BC và PN = $\frac{1}{2}$BC.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{PN}$và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng và PN = $\frac{1}{2}$BC nên $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}$.

Vậy $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$.

b) Tam giác ABC có P là trung điểm của AB; M là trung điểm của BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MP // CA và MP = $\frac{1}{2}$CA.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{MP}$và $\overrightarrow{CA}$cùng hướng và MP = $\frac{1}{2}$CA nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{MP}$.

Do đó $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$.

Vậy $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$.

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$. Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$theo $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$;

Do BD = DE = EC và BD + DE + EC = BC nên BD = DE = EC = $\frac{1}{3}$BC.

Hai vectơ $\overrightarrow{B\text{D}}$và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng và BD = $\frac{1}{3}$BC nên $\overrightarrow{B\text{D}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{BE}$và $\overrightarrow{B\text{D}}$cùng hướng và BE = 2BD nên $\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)=\frac{2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}$.

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\text{D}}=\overrightarrow{AD}$nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}=\frac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{3}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$.

Có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$nên $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{a}+\frac{2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}=\frac{3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}}{3}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}$.

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$(1).

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GN}$(2).

Do G là trung điểm của MN nên GM = GN.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{GM}$và $\overrightarrow{GN}$ngược hướng và GM = GN nên $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{GN}$.

Do đó $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$.

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{G\text{D}}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}$.

Ta có

$\overrightarrow{E\text{A}}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{E\text{D}}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{\text{GD}}$.

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}+\overrightarrow{\text{GD}}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$.

c) Do $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$nên hai vectơ $\overrightarrow{E\text{A}}$và $\overrightarrow{EG}$cùng hướng.

Mà 4 > 0 nên G nằm giữa A và E.

Do đó $\left.\overrightarrow{EA}\right|=4\left.\overrightarrow{EG}\right|$hay EA = 4EG.

$\Rightarrow$EG = $\frac{1}{4}$EA

$\Rightarrow$AG = $\frac{3}{4}$EA.

Ta thấy hai vectơ $\overrightarrow{AG}$và $\overrightarrow{A\text{E}}$cùng hướng và AG = $\frac{3}{4}$EA nên $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{A\text{E}}$.

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AG},\overrightarrow{CG}$theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$.

Do M là trung điểm của BC nên BM = $\frac{1}{2}$BC.

Hai vectơ $\overrightarrow{BM}$và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng và BM = $\frac{1}{2}$BC nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{\overrightarrow{b}}{2}$.

Do N là trung điểm của AB nên NB = $\frac{1}{2}$AB.

Hai vectơ $\overrightarrow{BN}$và $\overrightarrow{AB}$ngược hướng và NB = $\frac{1}{2}$AB nên $\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{-\overrightarrow{a}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}$; $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}=-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CN}$.

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}+\frac{\overrightarrow{b}}{2}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$và $\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{b}-\frac{\overrightarrow{a}}{2}\right)=\frac{-2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}$.

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$nên $\overrightarrow{DB}$và $\overrightarrow{BC}$cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) Do $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$nên $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}$.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{D}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{A\text{E}}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Từ phần a ta thấy $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó D, H, E thẳng hàng và H là trung điểm của DE.

Lý thuyết Toán 10 Bài 5. Tích của một số với một vectơ – Cánh diều

1. Định nghĩa

Cho một số k ≠ 0 và vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ≠ $\overrightarrow{0}$. Tích của một số k với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ là một vectơ, kí hiệu là k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$, được xác định như sau:

+ cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ nếu k < 0;

+ có độ dài bằng $\left.\mathrm{k}\right|$.$\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$

Quy ước: 0$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$, k$\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{0}$

Phép lấy tích của một số với một vectơ gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Ví dụ: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Tìm mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$; mối quan hệ của $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$

Hướng dẫn giải

Khi đó ta có:

– Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD.

Mà G nằm giữa A và D nên $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$ là hai vectơ ngược hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{GA}}$ = (–2)$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

– Ta có: AD = 3GD.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{GD}}$và $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$= 3$\overrightarrow{\mathrm{GD}}$.

Ví dụ: Cho vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có $\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$= 4. Tìm số thực x sao cho vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ có độ dài bằng 1 và cùng hướng với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left.\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔$\left.\mathrm{x}\right|.\left.\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|$ = 1 ⇔$\left.\mathrm{x}\right|.4$= 1

⇔$\left.\mathrm{x}\right|$ = $\frac{1}{4}$

Lại có vectơ x$\overrightarrow{\mathrm{a}}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$nên x > 0

Suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Vậy x = $\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm.

2. Tính chất

Với hai vectơ bất kì $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ và hai số thực h, k, ta có:

+) k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$; k($\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$) = k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$;

+) (h + k)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = h$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) h(k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$) = (hk)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$;

+) 1$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$; (–1)$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = –$\overrightarrow{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: k$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Tính:

a) 5$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$+ 5$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$;

b) 4$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$+ 6$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$;

c) 4(2$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$) + 2$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$– 3$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$.

Hướng dẫn giải:

3. Một số ứng dụng

3.1. Trung điểm của đoạn thẳng

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$với điểm M bất kì.

Chứng minh:

Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên $\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$= $\overrightarrow{0}$

Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$= $\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}\right)$

= $\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$= $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{\mathrm{IA}}+\overrightarrow{\mathrm{IB}}$

= $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}+\overrightarrow{0}$= $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ (đpcm).

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng minh $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD nên ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

⇒$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}$ = $\left(\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}\right)$ = $\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$.

⇒$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{MD}}=2\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ (đpcm).

3.2. Trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{MC}}=3\overrightarrow{\mathrm{MG}}$ với điểm M bất kì.

Ví dụ: Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$.

Hướng dẫn giải:

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên:

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc cộng vectơ ta có:

$\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}$ (1)

$\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ (2)

$\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{CG}}+\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{G}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}$ (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(\overrightarrow{\mathrm{AG}}+\overrightarrow{\mathrm{BG}}+\overrightarrow{\mathrm{CG}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\left(-\overrightarrow{\mathrm{GA}}-\overrightarrow{\mathrm{GB}}-\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}-\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}\right)+\left(\overrightarrow{\mathrm{GA}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}\text{'}}\right)$

= $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}$ = $3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$

⇒$\overrightarrow{\text{AA'}}+\overrightarrow{\mathrm{BB}\text{'}}+\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=3\overrightarrow{\mathrm{GG}\text{'}}$ (đpcm).

3.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

– Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ($\overrightarrow{\mathrm{b}}$ ≠ 0) cùng phương là có một số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = k$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số thực k để $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Nhận xét: Trong mặt phẳng, cho hai vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ không cùng phương. Với mỗi vectơ $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ có duy nhất cặp số (x; y) thoả mãn $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{x}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{y}\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$. Dựng các điểm M, N sao cho $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$; $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

a) Phân tích $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$theo các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Gọi I là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{\mathrm{MI}}=\overrightarrow{\mathrm{CM}}$. Chứng minh I, A, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

+) $\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ = $-\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

+) Vì $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=2\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ⇒ CN = 2BC ⇒ BC = $\frac{1}{3}$BN ⇒ BN = 3BC.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BN}}=3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)$ = $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}-3\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

= $-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$= –2$\overrightarrow{\mathrm{a}}$+ 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MI}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{CM}}$ = $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ + $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{\mathrm{a}}$ – $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = $-\frac{1}{3}\left(-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ = $-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AN}}$.

⇒ I, A, N thẳng hàng.