Giải Toán 10 Bài 6 (Cánh diều): Ba đường conic

Giải bài tập Toán 10 Bài 6: Ba đường conic 

A. Các câu hỏi trong bài

Giải Toán 10trang 93Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 93 Toán 10 Tập 2:

Đường conic gồm những loại đường nào và được xác định như thế nào?

Lời giải

Sau bài học này, ta sẽ biết đường conic gồm đường parabol, đường elip, đường hypebol và cách xác định phương trình của mỗi loại đường conic trên.

Hoạt động 1 trang 93 Toán 10 Tập 2

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về tổng MF₁ + MF₂?

Lời giải

Theo bài ra ta thấy tổng MF₁+ MF₂ luôn bằng độ dài vòng dây kín không đàn hồi.

Vậy khi M thay đổi, tổng MF₁ + MF₂ là một độ dài không đổi.

Giải Toán 10trang 94Tập 2

Hoạt động 2 trang 94 Toán 10 Tập 2:

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm của F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 52). Khi đó, F₁(– c; 0) và F₂(c; 0) là hai tiêu điểm của elip (E). Chứng minh rằng:

a) A₁(– a; 0) và A₂(a; 0) đều là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) B₁(0; – b) và B₂(0; b), ở đó $b=\sqrt{a^2-c^2}$, đều là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Lời giải

a) $A_1{F}_1=\sqrt{{\left(\left(-c\right)-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\left.-c+a\right|=a-c$ (vì a > c > 0 nên a – c > 0).

$A_1{F}_2=\sqrt{{\left(c-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\left.a+c\right|=a+c$

Suy ra A₁F₁ + A₂F₂ = (a – c) + (a + c) = 2a.

Vậy điểm A₁(– a; 0) thuộc elip (E).

Mà A₁(– a; 0) thuộc trục Ox nên A₁(– a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

Tương tự, ta chứng minh được A₂(a; 0) là giao điểm của elip (E) với trục Ox.

b) Ta có:

$B_2{F}_1=\sqrt{{\left(-c-0\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2}=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2}=\left.a\right|=a$

(vì $b=\sqrt{a^2-c^2}$ nên $b^2=a^2-c^2\iff a^2=b^2+c^2$ và a > 0 nên |a| = a).

Tương tự: $B_2{F}_2=\sqrt{{\left(c-0\right)}^2+{\left(0-b\right)}^2}=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{a^2}=a$ (do a > 0).

Suy ra B₂F₁ = B₂F₂ = a nên B₂F₁ + B₂F₂ = a + a = 2a.

Do đó, B₂(0; b) thuộc elip (E).

Mà B₂(0; b) thuộc trung Oy nên B₂(0; b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Tương tự, ta chứng minh được: B₁(0; – b) là giao điểm của elip (E) với trục Oy.

Giải Toán 10trang 95Tập 2

Luyện tập 1 trang 95 Toán 10 Tập 2

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$.

Vì elip (E) đi qua điểm M(0; 3) nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{3^2}{b^2}=1\iff b^2=3^2$.

Vì elip (E) đi qua điểm $N\left(3;-\frac{12}{5}\right)$ nên $\frac{3^2}{a^2}+\frac{{\left(-\frac{12}{5}\right)}^2}{3^2}=1\iff a^2=25$.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

Giải Toán 10trang 96Tập 2

Hoạt động 3 trang 96 Toán 10 Tập 2

Cho thước quay quanh điểm B (trùng F₁), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu MF₁ – MF₂?

Lời giải

Khi M thay đổi, hiệu

MF₁– MF₂ = (MF₁ + MA) – (MF₂ + MA) = AB – l không đổi.

Vậy khi M thay đổi hiệu MF₁ – MF₂ không thay đổi.

Giải Toán 10trang 97Tập 2

Hoạt động 4 trang 97 Toán 10 Tập 2:

Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng F₁F₂, trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng F₁F₂ = 2c (c > 0), gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂ (Hình 54).

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm F₁, F₂.

b) Nêu dự đoán thích hợp cho ? trong bảng sau:

Lời giải

a) Oy là đường trung trực của F₁F₂, do đó O là trung điểm của F₁F₂.

Suy ra OF₁ = OF₂ = $\frac{F_1{F}_2}{2}=\frac{2c}{2}=c$.

Điểm F₁ thuộc trục Ox và nằm về phía bên trái điểm O nên F₁(– c; 0).

Điểm F₂ thuộc trục Ox và nằm về phía bên phải điểm O nên F₂(c; 0).

b) Dựa vào bảng, ta dự đoán kí hiệu thích hợp cho ? là dấu “–”.

Điền vào bảng như sau:

Giải Toán 10trang 98Tập 2

Luyện tập 2 trang 98 Toán 10 Tập 2

Lời giải

Ta có: 4x² – 9y² = 1

$\iff \frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1$

$\iff \frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}-\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=1$.

Vậy phương trình hypebol đã cho được viết dưới dạng phương trình chính tắc là

$\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}-\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=1$.

Giải Toán 10trang 99Tập 2

Hoạt động 5 trang 99 Toán 10 Tập 2

Cho cạnh AC của ê ke trượt trên ∆ (Hình 55). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường parabol.

Khi M thay đổi, có nhận xét gì về khoảng cách từ M đến F và khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆?

Lời giải

Khi M thay đổi, ta có: MA + MB = MF + MB (= AB).

Do đó MA = MF.

Lại có MA vuông góc với ∆ tại A, do đó MA là khoảng cách từ M đến ∆.

Vậy khi M thay đổi khoảng cách từ M đến F luôn bằng khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆.

Hoạt động 6 trang 99, 100 Toán 10 Tập 2

Kẻ FH vuông góc với ∆ (H ∈ ∆). Đặt FH = p > 0. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm đoạn thẳng FH và F nằm trên tia Ox (Hình 56).

Suy ra: $F\left(\frac{p}{2};0\right),H\left(-\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường thẳng ∆ là $x+\frac{p}{2}=0.$

Do đó khoảng cách từ M(x; y) ∈ (P) đến đường thẳng ∆ là $\left.x+\frac{p}{2}\right|$.

Ta có: M(x; y) ∈ (P) khi và chỉ khi độ dài MF bằng khoảng cách từ M tới ∆, tức là:

$\sqrt{{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left.x+\frac{p}{2}\right|\iff {\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2+y^2={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2$

$\iff y^2={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2-{\left(x-\frac{p}{2}\right)}^2\iff y^2=2px$.

Lời giải

Xem hoạt động để nhận biết được cách xây dựng phương trình chính tắc của đường parabol.

Giải Toán 10trang 100Tập 2

Luyện tập 3 trang 100 Toán 10 Tập 2:

a) $x=\frac{y^2}{4};$

b) x – y² = 0.

Lời giải

a) Ta có: $x=\frac{y^2}{4}\iff y^2=4x\iff y^2=2.2x$.

Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y² = 2 . 2x với p = 2.

b) Ta có: x – y² = 0 ⇔ y² = x ⇔ y² = 2 . $\frac{1}{2}$x.

Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng chính tắc là y² = 2 . $\frac{1}{2}$x với p = $\frac{1}{2}$.

B. Bài tập

Giải Toán 10trang 102Tập 2

Bài 1 trang 102 Toán 10 Tập 2:

a) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{64}=1$;

b) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{64}=1$;

c) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1$;

d) $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{64}=1$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

+ Đáp án a, ta thấy a² = b² = 64, không thỏa mãn điều kiện a > b > 0.

+ Đáp án b, không phải dạng của phương trình chính tắc của elip.

+ Đáp án c, ta có a² = 64, b² = 25, suy ra a = 8, b = 5 nên a > b > 0, thỏa mãn.

+ Đáp án d, ta thấy a² = 25, b² = 64, suy ra a = 5 và b = 8 nên a < b, không thỏa mãn.

Vậy trong các phương trình đã cho thì phương trình c) $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1$ là phương trình chính tắc của elip.

Bài 2 trang 102 Toán 10 Tập 2:

Lời giải

Ta có: $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{25}=1\iff \frac{x^2}{7^2}+\frac{y^2}{5^2}=1.$

+ Trục hoành Ox: y = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục hoành là nghiệm của hệ

$\begin{array}{l}\frac{x^2}{7^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\\ y=0\end{array}$.

Giải hệ trên ta được 2 nghiệm (7; 0) và (– 7; 0).

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox là A₁(– 7; 0), A₂(7; 0).

+ Trục tung Oy: x = 0, tọa độ giao điểm của (E) với trục tung là nghiệm của hệ

$\begin{array}{l}x=0\\ \frac{x^2}{7^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\end{array}$.

Giải hệ trên ta được 2 nghiệm là (0; – 5), (0; 5).

Vậy tọa độ các giao điểm của (E) với trục Oy là B₁(0; – 5), B₂(0; 5).

+ Ta có: $\frac{x^2}{7^2}+\frac{y^2}{5^2}=1.$

Vì a > b > 0 nên elip (E) có a = 7, b = 5.

Suy ra c² = a² – b² = 7² – 5² = 24.

Do đó, $c=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của (E) là $F_1\left(-2\sqrt{6};0\right),F_2\left(2\sqrt{6};0\right)$.

Bài 3 trang 102 Toán 10 Tập 2:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

+ Elip (E) cắt trục Ox tại A₁(– 5; 0) nên $\frac{{\left(-5\right)}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\iff a^2={\left(-5\right)}^2\iff a^2=5^2$.

Do a > 0 nên a = 5.

+ Elip (E) cắt trục Oy tại $B_2\left(0;\sqrt{10}\right)$nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}{b^2}=1\iff b^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2$

Do b > 0 nên $b=\sqrt{10}$.

Vì 5 > $\sqrt{10}$ nên a > b > 0 (thỏa mãn).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=1hay\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{10}=1$.

Bài 4 trang 102 Toán 10 Tập 2:

Lời giải

Phương trình chính tắc của elip cần lập có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

+ Trục Oy là đường trung trực của đoạn A₁A₂ nên O là trung điểm của A₁A₂

Suy ra OA₂ = $\frac{A_1{A}_2}{2}$$=\frac{768800}{2}=384400$.

Vì điểm A₂ nằm trên trục Ox về phía bên phải điểm O nên A₂(384 800; 0).

Điểm A₂ thuộc elip (E) nên

$\frac{384{800}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\iff a^2=384{800}^2\Rightarrow a=384800$ (do a > 0).

+ Trục Ox là đường trung trực của đoạn B₁B₂ nên O là trung điểm của B₁B₂

Suy ra OB₂ = $\frac{B_1{B}_2}{2}$$=\frac{767619}{2}=383\mathrm{809,5}$.

Vì điểm B₂ nằm trên trục Oy về phía bên trên điểm O nên B₂(0; 383 809,5).

Elip (E) cắt trục Oy tại B₂(0; 338309,5), thay vào phương trình elip ta được:

$\frac{0^2}{a^2}+\frac{{\mathrm{338309,5}}^2}{b^2}=1\iff b^2={\mathrm{338309,5}}^2\Rightarrow b=\mathrm{338309,5}$ (do b > 0).

Do 384 800 > 383 809,5 nên a > b > 0 (thỏa mãn).

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là $\frac{x^2}{384{800}^2}+\frac{y^2}{383{\mathrm{809,5}}^2}=1$.

Bài 5 trang 102 Toán 10 Tập 2:

a) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$;

b) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$;

c) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{64}=1$;

d) $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{9}=1$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$với a > 0, b > 0.

+ Phương trình ở đáp án a không có dạng trên nên đây không phải phương trình chính tắc của hypebol.

+ Các phương trình ở các đáp án b, c, d đều là phương trình chính tắc của hypebol vì đều có dạng trên và thỏa mãn điều kiện a > 0, b > 0. Cụ thể

- Đáp án b: a = b = 3 > 0.

- Đáp án c: a = 3 > 0, b = 8 > 0.

- Đáp án d: a = 8 > 0, b = 3 > 0.

Vậy các phương trình ở đáp án b, c, d là phương trình chính tắc của hypebol.

Bài 6 trang 102 Toán 10 Tập 2

a) $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$;

b) $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=1$.

Lời giải

a) Ta có: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Suy ra hypebol có a² = 9, b² = 16.

Do đó, c² = a² + b² = 9 + 16 = 25.

Từ đó suy ra c = 5.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F₁(– 5; 0) và F₂(5; 0).  

b) Ta có: $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{25}=1$

Suy ra hypebol có a² = 36, b² = 25.

Do đó, c² = a² + b² = 36 + 25 = 61

Từ đó suy ra $c=\sqrt{61}$.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của hypebol đã cho là F₁(–$\sqrt{61}$; 0) và F₂($\sqrt{61}$; 0).  

Bài 7 trang 102 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết $N\left(\sqrt{10};2\right)$ nằm trên (H) và hoành độ một giao điểm của (H) đối với trục Ox bằng 3.

Lời giải

Gọi dạng của phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > 0, b > 0.

+ Hoành độ một giao điểm của (H) với trục Ox là 3 nên tọa độ giao điểm của (H) với trục Ox là điểm (3; 0). Khi đó ta có:

$\frac{3^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1\iff a^2=3^2\Rightarrow a=3$ (do a > 0).

+ Điểm $N\left(\sqrt{10};2\right)$ nên $\frac{{\left(\sqrt{10}\right)}^2}{3^2}-\frac{2^2}{b^2}=1\iff b^2=36\iff b^2=6^2\Rightarrow b=6$(do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1hay\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{36}=1$.

Bài 8 trang 102 Toán 10 Tập 2:

a) y² = – 2x;

b) y² = 2x;

c) x² = – 2y;

d) $y^2=\sqrt{5}x$.

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

a) y² = – 2x = 2 . (– 1)x, vì (– 1) < 0 nên đây không phải phương trình chính tắc của parabol.

b) y² = 2x = 2 . 1 . x, vì 1 > 0 nên đây là phương trình chính tắc của parabol với p = 1.

c) Phương trình x² = – 2y không có dạng phương trình chính tắc của parabol nên đây không phải là phương trình chính tắc của parabol.

d) Ta có: $y^2=\sqrt{5}x=2.\frac{\sqrt{5}}{2}x$, vì $\frac{\sqrt{5}}{2}>0$ nên đây là phương trình chính tắc của parabol với $p=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Vậy trong các đáp án đã cho thì phương trình ở đáp án b và d là phương trình chính tắc của parabol.

Bài 9 trang 102 Toán 10 Tập 2

a) $y^2=\frac{5}{2}x$;

b) $y^2=2\sqrt{2}x$.

Lời giải

a) Ta có: $y^2=\frac{5}{2}x=2.\frac{5}{4}x$.

Suy ra parabol có p = $\frac{5}{4}$ (thỏa mãn p > 0).

Ta có: $\frac{p}{2}=\frac{\frac{5}{4}}{2}=\frac{5}{8}$.

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là $F\left(\frac{5}{8};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là $x+\frac{5}{8}=0$.

b) Ta có: $y^2=2\sqrt{2}x=2.\sqrt{2}.x$.

Suy ra parabol có p = $\sqrt{2}$ (thỏa mãn p > 0).

Ta có: $\frac{p}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol này là $F\left(\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là $x+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$.

Bài 10 trang 102 Toán 10 Tập 2

Lời giải

Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol là y² = 2px (với p > 0).

Vì tiêu điểm của parabol là F(6; 0). Suy ra $\frac{p}{2}=6\iff p=12$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là y² = 2 . 12 x hay y² = 24x.

Bài 11 trang 102 Toán 10 Tập 2

Lời giải

Do AB = 40 và Ox là đường trung trực của đoạn AB.

Suy ra khoảng cách từ điểm A đến trục Ox là $\frac{40}{2}=20$. (1)

Chiều sâu h bằng khoảng cách từ O đến AB và h = 30.

Suy ra khoảng cách từ điểm A đến trục Oy là 30.(2)

Từ (1) và (2) suy ra, parabol đi qua điểm A(30; 20).

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (với p > 0).

Khi đó ta có: 20² = 2p . 30 ⇔ 60p = 400 ⇔ p = $\frac{20}{3}$ (thỏa mãn p > 0).

Vậy phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn bài toán là $y^2=2.\frac{20}{3}.xhay{y}^2=\frac{40}{3}x$.