Tìm giao điểm của hai đường thẳng

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 22 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

a) (d₁): 5x – 2y = c và (d₂): x + by = 2, biết rằng (d₁) đi qua điểm A(5; -1) và (d₂) đi qua điểm B(-7; 3).

b) (d₁): ax + 2y = -3 và (d₂): 3x – by = 5, biết rằng (d₁) đi qua điểm M(3; 9) và (d₂) đi qua điểm N(-1; 2).

Lời giải:

a) Đường thẳng (d₁): 5x – 2y = c đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 5.5 – 2.(-1) = c ⇔ 25 + 2 = c ⇔ c = 27

Phương trình đường thẳng (d₁): 5x – 2y = 27

Đường thẳng (d₂): x + by = 2 đi qua điểm B(-7; 3) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: -7 + 3b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b = 3

Phương trình đường thẳng (d₂): x + 3y = 2

Tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{array}{l}5x-2y=27\\ x+3y=2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}5x-2y=27\\ x=-3y+2\end{array}\iff \begin{array}{l}5\left(-3y+2\right)-2y=27\\ x=-3y+2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}-15y+10-2y=27\\ x=-3y+2\end{array}\iff \begin{array}{l}-17y=17\\ x=-3y+2\end{array}\iff \begin{array}{l}y=-1\\ x=-3y+2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=-1\\ z=-3.\left(-1\right)+2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=5\\ y=-1\end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là (5; -1).

b) Đường thẳng (d₁): ax + 2y = -3 đi qua điểm M(3; 9) nên tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: a.3 + 2.9 = -3 ⇔ 3a + 18 = -3 ⇔ 3a = -21 ⇔ a = -7

Phương trình đường thẳng (d₁): -7x + 2y = -3

Đường thẳng (d₂): 3x – by = 5 đi qua điểm N(-1; 2) nên tọa độ điểm N nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 3.(-1) – b.2 = 5 ⇔ -3 – 2b = 5 ⇔ 2b = -8 ⇔ b = -4

Phương trình đường thẳng (d₂): 3x + 4y = 5

Tọa độ giao điểm của (d₁) và (d₂) là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{array}{l}-7x+2y=-3\\ 3x+4y=5\end{array}$

Ta có: $\begin{array}{l}-7x+2y=-3\\ 3x+4y=5\end{array}\iff \begin{array}{l}y=\frac{7x-3}{2}\\ x=\frac{11}{17}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}y=\frac{7.\frac{11}{17}-3}{2}\\ x=\frac{11}{17}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{11}{17}\\ y=\frac{13}{17}\end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm của $\left(d_1\right);\left(d_2\right)$ là $\left(\frac{11}{17};\frac{13}{17}\right)$

*Phương pháp giải:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.

ax + b = a’x + b’ (1)

Chú ý:

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’.

+ Phương trình (1) luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.

+ Với a ≠ a’, phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

(1)$\iff ax-a\text{'}x=-b+b\text{'}$

$\iff x\left(a-a\text{'}\right)=-b+b\text{'}$

$\iff x=\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}$

Ta chuyển qua bước 2

Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y

Ví dụ thay x vào d $\Rightarrow y=a.\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}+b$

Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.

*Lý thuyết:

+ Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với a$\ne 0$và a’$\ne 0$.

Hai đường thẳng này có duy nhất một điểm chung khi chúng cắt nhau.

Hai đường thẳng không có điểm chung khi chúng song song.

Hai đường thẳng có vô số điểm chung khi chúng trùng nhau.

+ Muốn tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng ta làm như sau (d và d’ cắt nhau)

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’.

ax + b = a’x + b’ (1)

Chú ý:

+ Phương trình (1) vô nghiệm thì d // d’.

+ Phương trình (1) luôn đúng với mọi giá trị x thì d và d’ trùng nhau.

+ Với a ≠ a’, phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

(1)$\iff ax-a\text{'}x=-b+b\text{'}$

$\iff x\left(a-a\text{'}\right)=-b+b\text{'}$

$\iff x=\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}$

Ta chuyển qua bước 2

Bước 2: Thay x vừa tìm được vào d hoặc d’ để tính y

Ví dụ thay x vào d $\Rightarrow y=a.\frac{-b+b\text{'}}{a-a\text{'}}+b$

Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm.