Tìm a và b để Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 20 trang 9 SBT Toán 9 Tập 2: 

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3),$B\left(\frac{3}{2};-1\right)$

b) Đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d₁): 2x + 5y = 17, (d₂): 4x – 10y = 14.

Lời giải:

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3),$B\left(\frac{3}{2};-1\right)$ nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng ta được: 3 = -5a + b (1)

Thay tọa độ điiểm B vào đường thẳng ta được: $-1=\frac{3}{2}a+b$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}-5a+b=3\\ \frac{3}{2}a+b=-1\end{array}$

$\begin{array}{l}-5a+b=3\\ \frac{3}{2}a+b=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}-5a+b=3\\ 3a+2b=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=3+5a\\ 3a+2b=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}b=3+5a\\ 3a+2\left(3+5a\right)=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}b=3+5a\\ 3a+6+10a=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}b=3+5a\\ 13a=-8\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}a=\frac{-8}{13}\\ b=3+5.\frac{-8}{13}\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{-8}{13}\\ b=\frac{-1}{13}\end{array}$

Vậy khi $a=\frac{-8}{13};b=\frac{-1}{13}$ thì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3); $B\left(\frac{3}{2};-1\right)$.

Đường thẳng cần tìm là $y=\frac{-8}{13}x-\frac{1}{13}$.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d₁): 2x + 5y = 17, (d₂): 4x – 10y = 14 là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{array}{l}2x+5y=17\\ 4x-10y=14\end{array}$

Ta có: $\begin{array}{l}2x+5y=17\\ 4x-10y=14\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+5y=17\\ 2x-5y=7\end{array}$$\iff \begin{array}{l}2x+5y=17\\ x=\frac{5y+7}{2}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}2x+5y=17\\ x=\frac{5y+7}{2}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}2\left(\frac{5y+7}{2}\right)+5y=17\\ x=\frac{5y+7}{2}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}5y+7+5y=17\\ x=\frac{5y+7}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}10y=10\\ x=\frac{5y+7}{2}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=\frac{5y+7}{2}\\ y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{5.1+7}{2}\\ y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=6\\ y=1\end{array}$

Khi đó hai đường thẳng cắt nhau tại N(6; 1)

Đường thẳng ax - 8y = b đi qua điểm M(9; -6) và N(6; 1) nên có tọa độ của M và N là nghiệm đúng của phương trình đường thẳng:

Điểm M: 9a + 48 = b

Điểm N: 6a – 8 = b

Khi đó ta có hệ phương trình $\begin{array}{l}9a+48=b\\ 6a-8=b\end{array}\iff \begin{array}{l}9a+48=6a-8\\ 6a-8=b\end{array}\iff \begin{array}{l}3a=-56\\ 6a-8=b\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}a=\frac{-56}{3}\\ 6a-8=b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{-56}{3}\\ 6.\left(\frac{-56}{3}\right)-8=b\end{array}\iff \begin{array}{l}a=\frac{-56}{3}\\ b=-120\end{array}$

Vậy khi a = $\frac{-56}{3}$; b = -120 thì đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6); N(6; 1) là giao điểm của hai đường thẳng d₁; d₂.