Anonymous

Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 9 Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bài 24 trang 10 SBT Toán 9 Tập 2:

a) $\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{array}$

b) $\begin{array}{l} \frac{15}{x} - \frac{7}{y} = 9 \\ \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 35 \end{array}$

c) $\begin{array}{l} \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{5}{8} \\ \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{- 3}{8} \end{array}$

d) $\begin{array}{l} \frac{4}{2 x - 3 y} + \frac{5}{3 x + y} = - 2 \\ \frac{3}{3 x + y} - \frac{5}{2 x - 3 y} = 21 \end{array}$

e) $\begin{array}{l} \frac{7}{x - y + 2} - \frac{5}{x + y - 1} = 4, 5 \\ \frac{3}{x - y + 2} + \frac{2}{x + y - 1} = 4 \end{array}$

Lời giải:

a) $\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4}{5} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \end{array}$ . Đặt $\begin{array}{l} \frac{1}{x} = a \\ \frac{1}{y} = b \end{array}$ (điều kiện $x \neq 0; y \neq 0)$ khi đó phương trình trở thành

$\begin{array}{l} a + b = \frac{4}{5} \\ a - b = \frac{1}{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a + b = \frac{4}{5} \\ a = b + \frac{1}{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b + \frac{1}{5} + b = \frac{4}{5} \\ a = b + \frac{1}{5} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 b = \frac{3}{5} \\ a = b + \frac{1}{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{3}{10} \\ a = \frac{3}{10} + \frac{1}{5} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = \frac{1}{2} \\ b = \frac{3}{10} \end{array}$

Khi đó ta được: $\begin{array}{l} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{y} = \frac{3}{10} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 2 \\ y = \frac{10}{3} \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y) = $(2; \frac{10}{3})$ .

b) $\begin{array}{l} \frac{15}{x} - \frac{7}{y} = 9 \\ \frac{4}{x} + \frac{9}{y} = 35 \end{array}$ . Đặt $\begin{array}{l} \frac{1}{x} = a \\ \frac{1}{y} = b \end{array}$ (điều kiện $x \neq 0; y \neq 0)$ khi đó phương trình trở thành

$\begin{array}{l} 15 a - 7 b = 9 \\ 4 a + 9 b = 35 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{15 a - 9}{7} \\ 4 a + 9 b = 35 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{15 a - 9}{7} \\ 4 a + 9. \frac{15 a - 9}{7} = 35 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{15 a - 9}{7} \\ 4 a + 9. \frac{15 a - 9}{7} = 35 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{15 a - 9}{7} \\ 4 a + \frac{135}{7} a - \frac{81}{7} = 35 \end{array}$

$\begin{array}{l} b = \frac{15 a - 9}{7} \\ \frac{163}{7} a = \frac{326}{7} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = 2 \\ b = \frac{15.2 - 9}{7} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = 2 \\ b = 3 \end{array}$

Khi đó ta được: $\begin{array}{l} \frac{1}{x} = 2 \\ \frac{1}{y} = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{1}{3} \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x; y) = (\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

c) $\begin{array}{l} \frac{1}{x + y} + \frac{1}{x - y} = \frac{5}{8} \\ \frac{1}{x + y} - \frac{1}{x - y} = \frac{- 3}{8} \end{array}$ . Đặt $\begin{array}{l} \frac{1}{x + y} = a \\ \frac{1}{x - y} = b \end{array}$ ( điều kiện $x \neq \pm y$ ) khi đó phương trình trở thành

$\begin{array}{l} a + b = \frac{5}{8} \\ a - b = \frac{- 3}{8} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a + b = \frac{5}{8} \\ a = b - \frac{3}{8} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b - \frac{3}{8} + b = \frac{5}{8} \\ a = b - \frac{3}{8} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 b = \frac{8}{8} \\ a = b - \frac{3}{8} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b = \frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{8} \end{array}$ . Khi đó ta được

$\begin{array}{l} \frac{1}{x + y} = \frac{1}{8} \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x + y = 8 \\ x - y = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x + y = 8 \\ x = y + 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} y + 2 + y = 8 \\ x = y + 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 y = 6 \\ x = y + 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = y + 2 \\ y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 5 \\ y = 3 \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (5; 3)

d) $\begin{array}{l} \frac{4}{2 x - 3 y} + \frac{5}{3 x + y} = - 2 \\ \frac{3}{3 x + y} - \frac{5}{2 x - 3 y} = 21 \end{array}$ . Đặt

$\begin{array}{l} \frac{1}{2 x - 3 y} = a \\ \frac{1}{3 x + y} = b \end{array}$ (điều kiện $2 x - 3 y \neq 0; 3 x + y \neq 0)$ . Khi đó phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 4 a + 5 b = - 2 \\ 3 b - 5 a = 21 \end{array}$ $\Leftrightarrow \begin{array}{l} 4 a + 5 b = - 2 \\ b = \frac{5 a + 21}{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 4 a + 5. \frac{5 a + 21}{3} = - 2 \\ b = \frac{5 a + 21}{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 37 a + 105 = - 6 \\ b = \frac{5 a + 21}{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 37 a = - 111 \\ b = \frac{5 a + 21}{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} a = - 3 \\ b = \frac{5 a + 21}{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} a = - 3 \\ b = \frac{5. (- 3) + 21}{3} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = - 3 \\ b = 2 \end{array}$ .

Khi đó ta được: $\begin{array}{l} \frac{1}{2 x - 3 y} = - 3 \\ \frac{1}{3 x + y} = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x - 3 y = \frac{- 1}{3} \\ 3 x + y = \frac{1}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x - 3 y = \frac{- 1}{3} \\ y = \frac{1}{2} - 3 x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x - 3 (\frac{1}{2} - 3 x) = \frac{- 1}{3} \\ y = \frac{1}{2} - 3 x \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 2 x + 9 x = \frac{- 1}{3} + \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{2} - 3 x \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 11 x = \frac{7}{6} \\ y = \frac{1}{2} - 3 x \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{7}{66} \\ y = \frac{1}{2} - 3. \frac{7}{66} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{7}{66} \\ y = \frac{2}{11} \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ phương trình $(x; y) = (\frac{7}{66}; \frac{2}{11})$ .

e) $\begin{array}{l} \frac{7}{x - y + 2} - \frac{5}{x + y - 1} = 4, 5 \\ \frac{3}{x - y + 2} + \frac{2}{x + y - 1} = 4 \end{array}$ . Đặt $\begin{array}{l} \frac{1}{x - y + 2} = a \\ \frac{1}{x + y - 1} = b \end{array}$

(điều kiện $x - y + 2 \neq 0; x + y - 1 \neq 0)$

Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 7 a - 5 b = 4, 5 \\ b = \frac{4 - 3 a}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 7 a - 5. \frac{4 - 3 a}{2} = 4, 5 \\ b = \frac{4 - 3 a}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} 14 a - 20 + 15 a = 9 \\ b = \frac{4 - 3 a}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} 29 a = 29 \\ b = \frac{4 - 3 a}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = 1 \\ b = \frac{4 - 3 a}{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} a = 1 \\ b = \frac{4 - 3.1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} a = 1 \\ b = \frac{1}{2} \end{array}$ khi đó ta được

$\begin{array}{l} \frac{1}{x - y + 2} = 1 \\ \frac{1}{x + y - 1} = \frac{1}{2} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x - y = 2 = 1 \\ x + y - 1 = 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x - y = - 1 \\ x + y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = y - 1 \\ x + y = 3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = y - 1 \\ y - 1 + y = 3 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = y - 1 \\ 2 y = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = y - 1 \\ y = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 2 - 1 \\ y = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)