Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O

Giải Toán 11 Bài 4: Phép đối xứng tâm

Video Giải Bài tập 1 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học

Bài tập 1 trang 15 SGK Toán lớp 11 Hình học:

Lời giải:

Gọi A' là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O, khi đó O là trung điểm của AA'

$\Rightarrow \begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=-x_A\\ y_{A\text{'}}=-y_A\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_{A\text{'}}=1\\ y_{A\text{'}}=-3\end{array}$

Suy ra A’(1; -3)

Để tìm ảnh của đường thẳng d ta có thể dùng các cách sau:

Cách 1:

Cho y = 0 ta được x = -3.

Cho x = -1 ta được y = 1.

Do đó, đường thẳng d đi qua B(-3; 0) và C(-1; 1).

Ta có: B’ = Đ_O(B) = (3; 0) và C’ = Đ_O(C) = (1; -1).

Đường thẳng B’C’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm .

$\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=(-2;-1)$suy ra $\overrightarrow{n_{B\text{'}C\text{'}}}=(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến của B'C'

Mà B’C’ đi qua B’(3; 0) nên có phương trình: 1(x – 3) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 3 = 0

Cách 2:

Đường thẳng d đi qua B(−3; 0)

Do O không thuộc d nên gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O thì nó song song với d.

Do đó d’ có phương trình x − 2y + c = 0  $(c\ne 3)$.

Gọi B' là ảnh của B qua phép đối xứng tâm O ta có: B’(3; 0)

Vì $B\text{'}\in d\text{'}$  suy ra 3 + c = 0 suy ra c = −3 (thỏa mãn).

Vậy ảnh của d qua phép đối xứng tâm O là đường thẳng d′ có phương trình x − 2y – 3 = 0