So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 73 trang 17 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

$\sqrt{2005}-\sqrt{2004}$ và $\sqrt{2004}-\sqrt{2003}$

Lời giải:

Xét $\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}$

$=\frac{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}{\left(\sqrt{2005}+\sqrt{2004}\right)\left(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}\right)}=\frac{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}{{\left(\sqrt{2005}\right)}^2-{\left(\sqrt{2004}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}{1}=\sqrt{2005}-\sqrt{2004}\left(1\right)$

Tương tự xét $\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}$

$=\frac{\sqrt{2004}-\sqrt{2003}}{\left(\sqrt{2004}+\sqrt{2003}\right)\left(\sqrt{2004}-\sqrt{2003}\right)}=\frac{\sqrt{2005}-\sqrt{2004}}{{\left(\sqrt{2004}\right)}^2-{\left(\sqrt{2003}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2004}-\sqrt{2003}}{1}=\sqrt{2004}-\sqrt{2003}\left(2\right)$

Vì $\sqrt{2005}>\sqrt{2003}$

$\Rightarrow \sqrt{2005}+\sqrt{2004}>\sqrt{2003}+\sqrt{2004}$

Nên $\frac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}<\frac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}$ (3)

Từ (1); (2); (3)

$\Rightarrow \sqrt{2005}-\sqrt{2004}<\sqrt{2004}-\sqrt{2003}$

Vậy $\sqrt{2005}-\sqrt{2004}<\sqrt{2004}-\sqrt{2003}$