Rút gọn

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 74 trang 17 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn: $\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{9}}$

Lời giải:

 $\mathrm{Đặt}\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{9}}$

Ta có:

$\frac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}}{1-2}=-1-\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3}=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{4}}{3-4}=-\sqrt{3}-\sqrt{4}$

Tương tự ta được:

$\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}-\sqrt{5}\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}=-\sqrt{5}-\sqrt{6}\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}=-\sqrt{6}-\sqrt{7}\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{8}}=-\sqrt{7}-\sqrt{8}\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{9}}=-\sqrt{8}-\sqrt{9}$

Khi đó:

 $A=\left(-\sqrt{1}-\sqrt{2}\right)-\left(-\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)+\left(-\sqrt{3}-\sqrt{4}\right)-\left(-\sqrt{4}-\sqrt{5}\right)+\left(-\sqrt{5}-\sqrt{6}\right)-\left(-\sqrt{6}-\sqrt{7}\right)+\left(-\sqrt{7}-\sqrt{8}\right)-\left(-\sqrt{8}-\sqrt{9}\right)$

A = $-\sqrt{1}-\sqrt{2}$ + $+\sqrt{2}+\sqrt{3}$

      … $-\sqrt{7}-\sqrt{8}$$+\sqrt{8}+\sqrt{9}$

A = $-\sqrt{1}+\sqrt{9}=-1+3=2$