Cho các số x và y có dạng

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 79 trang 17 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho các số x và y có dạng: x = $a_1\sqrt{2}$ + b₁  và y = $a_2\sqrt{2}$ + b₂ , trong đó là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x.y cũng có dạng a$\sqrt{2}$ + b với a và b là các số hữu tỉ

b) $\frac{x}{y}$ với y ≠ 0 cũng có dạng a$\sqrt{2}$ + b với a và b là các số hữu tỉ.

Lời giải:

a) Ta có:

x + y = (a₁$\sqrt{2}$ + b₁) + (a₂$\sqrt{2}$ + b₂)

= (a₁+ a₂)$\sqrt{2}$ + (b₁ + b₂)

Vì $a_1;a_2;b_1;b_2$ là các số hữu tỉ

nên $a_1+a_2;b_1+b_2$ cũng là số hữu tỉ.

Lại có: xy = ($a_1\sqrt{2}+b_1$)($a_2\sqrt{2}+b_2$)

= 2$a_1.a_2$ + $a_1{b}_2\sqrt{2}$ + $a_2{b}_1\sqrt{2}$+ $b_1{b}_2$

= $\left(a_1{b}_2+a_2{b}_1\right)\sqrt{2}$ + $2a_1{a}_2+b_1{b}_2$

Vì $a_1;a_2;b_1;b_2$ là các số hữu tỉ

nên $a_1{b}_2+a_2{b}_1$; $2a_1.a_2+b_1.b_2$ cũng là các số hữu tỉ.

$\Rightarrow$ Điều phải chứng minh.

b) Ta có:

$\frac{x}{y}=\frac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\frac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}=\frac{2a_1{a}_2-a_1{b}_2\sqrt{2}+a_2{b}_1\sqrt{2}-b_1{b}_2}{{\left(a_2\sqrt{2}\right)}^2-{b_2}^2}=\frac{2a_1{a}_2-a_1{b}_2\sqrt{2}+a_2{b}_1\sqrt{2}-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}=\frac{\sqrt{2}\left(a_2{b}_1-a_1{b}_2\right)+\left(2a_1{a}_2-b_1{b}_2\right)}{2{a_2}^2-{b_2}^2}=\sqrt{2}.\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}+\frac{2a_1{a}_2-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}$

Vì $y\ne 0$ nên $a_2;b_2$ không đồng thời bằng 0

+ Nếu $2{a_2}^2-b_2=0$ thì $\frac{b_2}{a_2}=\pm \sqrt{2}$ 

điều này mâu thuẫn với $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

+ Nếu $2{a_2}^2-{b_2}^2\ne 0$ 

thì $\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2};\frac{2a_1{a}_2-b_1{b}_2}{2{a_2}^2-{b_2}^2}$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow$Điều phải chứng minh.