Anonymous

Cho các số x và y có dạng

- asked 6 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 79 trang 17 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho các số x và y có dạng: x = $a_{1} \sqrt{2}$ + b₁ và y = $a_{2} \sqrt{2}$ + b₂ , trong đó là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x.y cũng có dạng a $\sqrt{2}$ + b với a và b là các số hữu tỉ

b) $\frac{x}{y}$ với y ≠ 0 cũng có dạng a $\sqrt{2}$ + b với a và b là các số hữu tỉ.

Lời giải:

a) Ta có:

x + y = (a₁ $\sqrt{2}$ + b₁) + (a₂ $\sqrt{2}$ + b₂)

= (a₁+ a₂) $\sqrt{2}$ + (b₁ + b₂)

Vì $a_{1}; a_{2}; b_{1}; b_{2}$ là các số hữu tỉ

nên $a_{1} + a_{2}; b_{1} + b_{2}$ cũng là số hữu tỉ.

Lại có: xy = ( $a_{1} \sqrt{2} + b_{1}$ )( $a_{2} \sqrt{2} + b_{2}$ )

= 2 $a_{1} . a_{2}$ + $a_{1} b_{2} \sqrt{2}$ + $a_{2} b_{1} \sqrt{2}$ + $b_{1} b_{2}$

= $(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \sqrt{2}$ + $2 a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}$

Vì $a_{1}; a_{2}; b_{1}; b_{2}$ là các số hữu tỉ

nên $a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}$ ; $2 a_{1} . a_{2} + b_{1} . b_{2}$ cũng là các số hữu tỉ.

$\Rightarrow$ Điều phải chứng minh.

b) Ta có:

$\frac{x}{y} = \frac{a_{1} \sqrt{2} + b_{1}}{a_{2} \sqrt{2} + b_{2}} = \frac{(a_{1} \sqrt{2} + b_{1}) (a_{2} \sqrt{2} - b_{2})}{(a_{2} \sqrt{2} + b_{2}) (a_{2} \sqrt{2} - b_{2})} = \frac{2 a_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} \sqrt{2} + a_{2} b_{1} \sqrt{2} - b_{1} b_{2}}{{(a_{2} \sqrt{2})}^{2} - {b_{2}}^{2}} = \frac{2 a_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} \sqrt{2} + a_{2} b_{1} \sqrt{2} - b_{1} b_{2}}{2 {a_{2}}^{2} - {b_{2}}^{2}} = \frac{\sqrt{2} (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) + (2 a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2})}{2 {a_{2}}^{2} - {b_{2}}^{2}} = \sqrt{2} . \frac{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}}{2 {a_{2}}^{2} - {b_{2}}^{2}} + \frac{2 a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}}{2 {a_{2}}^{2} - {b_{2}}^{2}}$