Một công ty kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá x

Giải SBT Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 6

Bài 6.63 trang 27 SBT Toán 10 Tập 2: Một công ty kinh doanh máy tính cầm tay thấy rằng khi bán máy ở mức giá x (nghìn đồng) một chiếc thì số lượng máy bán được n cho bởi phương trình n = 1 200 000 – 1 200x.

a) Tìm công thức biểu diễn doanh thu R như là hàm số của đơn giá x. Tìm miền xác định của hàm số R = R(x).

b) Máy tính được bán ở đơn giá nào sẽ cho doanh thu lớn nhất ? Tính doanh thu lớn nhất và số máy tính bán được trong trường hợp đó.

c) Với đơn giá nào thì công ty sẽ đạt được doanh thu trên 200 tỉ đồng (làm tròn đến nghìn đồng) ?

Lời giải:

a)

Công thức biểu thị doanh thu R là:

R(x) = nx = (1 200 000 – 1 200x).x = –1 200x² + 1 200 000x.

Vì đơn giá và số lượng máy tính bán ra luôn không âm nên điều kiện để hàm số R = R(x) xác định là x ≥ 0và n = 1 200 000 – 1 200x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 000, do đó x ≤ 0 ≤ 1 000.

Vậy tập xác định của hàm số R = R(x) là đoạn [0; 1000].

b)

Đồ thị hàm số R(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống do a = – 1 200 < 0.

Hàm số R = R(x) đạt giá trị lớn nhất tại hoành độ của đỉnh parabol là: $x=-\frac{b}{2a}=500$và giá trị lớn nhất của doanh thu bằng R(500) = 300 000 000.

Như vậy với đơn giá 500 nghìn đồng một chiếc thì công ty đạt doanh thu cao nhất là 300 tỉ đồng và khi đó số máy tính bán được là n = 1 200 000 – 1 200 . 500 = 600 000 chiếc.

c)

Doanh thu đạt trên 200 tỉ đồng nghĩa là

R(x) = –1 200x² + 1 200 000x > 200 000 000

⇔ 1200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0.

Xét tam thức f(x) = 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 có:

a = 1 200 > 0

∆’ = (–600 000)² – 1 200 . 200 000 000 = 120 000 000 000 > 0

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là: x₁ ≈ 788,68 ; x₂ ≈ 211,32

Do đó, 1 200x² – 1 200 000x + 200 000 000 < 0 ⇔ 211,32 < x < 788,68 hay 212 < x < 788.

Như vậy với đơn giá từ 212 nghìn đồng đến 788 nghìn đồng thì doanh thu của công ty đạt trên 200 tỉ đồng.