Bài 6 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 6 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1: Khi du lịch đến thành phố St.Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng có vị trí tọa độ (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Lời giải:

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy:

Cổng Arch có dạng hình parabol nên có dạng: y = ax² + bx + c (a ≠ 0) (1)

Ta có parabol này đi qua gốc tọa độ O(0; 0), điểm M(10; 43) và điểm có tọa độ (162; 0).

Vì điểm O(0; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 0 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a . 0² + b . 0 + c ⇔ c = 0

Vì điểm M(10; 43) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 10 và y = 43 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 43 = a.10² + b.10 + c ⇔ 100a + 10b = 43 (do c = 0)

Vì điểm có tọa độ (162; 0) thuộc đồ thị hàm số nên thay x = 162 và y = 0 vào đồ thị hàm số (1) ta được: 0 = a.162² + b. 162 + c ⇔ 26 244a + 162b = 0 hay 162a + b = 0

Khi đó ta có hệ phương trình: 

$\iff \begin{array}{l}a=-\frac{43}{1520}\\ b=\frac{3483}{760}\end{array}$

Do đó: $y=\frac{-43}{1520}{x}^2+\frac{3483}{760}x$

Ta có $a=-\frac{43}{1520}<0$, parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên điểm cao nhất chính là điểm đỉnh của parabol và khi đó chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol.

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2-0={\left(\frac{3483}{760}\right)}^2$

Tung độ của đỉnh: $-\frac{\Delta }{4a}=-\left({\left(\frac{3483}{760}\right)}^2:\left(4.\frac{-43}{1520}\right)\right)\approx 186$.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 186 m.