Hàm số là hàm đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Hàm số bậc nhất

Bài 8 trang 62 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số $y=\left(3-\sqrt{2}\right)x+1$

a) Hàm số là hàm đồng biến hay nghịch biến trên ? Vì sao?

b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau:

0; 1; $\sqrt{2}$ ; 3 + $\sqrt{2}$ ; 3 - $\sqrt{2}$

c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau:

0; 1; 8; 2 + $\sqrt{2}$ ; 2 - $\sqrt{2}$

Lời giải:

a) Hàm số $y=\left(3-\sqrt{2}\right)x+1$ là hàm số bậc nhất có a = $3-\sqrt{2}$

Vì 3 - $\sqrt{2}>0$ nên hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

b)

+ Với x = 0 thì

y = f(0) = $\left(3-\sqrt{2}\right).0+1=1$

+ Với x = 1 thì

y = f(1) = $\left(3-\sqrt{2}\right).1+1$

  $=3-\sqrt{2}+1=4-\sqrt{2}$

+ Với x = $\sqrt{2}$ thì

y = f $\left(\sqrt{2}\right)$ = $\left(3-\sqrt{2}\right).\sqrt{2}+1$

  $=3\sqrt{2}-2+1=3\sqrt{2}-1$

+ Với x = 3 + $\sqrt{2}$ thì

y = $f\left(3+\sqrt{2}\right)=\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)+1$

  $=9-2+1=8$

+ Với x = 3 - $\sqrt{2}$ thì

y = $f\left(3-\sqrt{2}\right)=\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)+1$

  $=9-3\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2+1=12-6\sqrt{2}$

c)

+ Với y = 0 $\Rightarrow \left(3-\sqrt{2}\right).x+1=0$

$\iff \left(3-\sqrt{2}\right)x=-1\iff x=\frac{-1}{3-\sqrt{2}}=\frac{-1.\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{-3-\sqrt{2}}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{-3-\sqrt{2}}{9-2}=\frac{-3-\sqrt{2}}{7}$

+ Với y = 1 $\Rightarrow \left(3-\sqrt{2}\right).x+1=1$

$\iff \left(3-\sqrt{2}\right)x=0\iff x=0$

+ Với y = 8 $\Rightarrow \left(3-\sqrt{2}\right).x+1=8$

$\iff \left(3-\sqrt{2}\right)x=7\iff x=\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7.\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{7.\left(3+\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{7.\left(3+\sqrt{2}\right)}{9-2}=\frac{7.\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}=3+\sqrt{2}$

+ Với y = $2+\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left(3-\sqrt{2}\right).x+1=2+\sqrt{2}\iff \left(3-\sqrt{2}\right)x=1+\sqrt{2}\iff x=\frac{1+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right).\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{3+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{3+\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2}{7}=\frac{5+4\sqrt{2}}{7}$

+ Với y = $2-\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left(3-\sqrt{2}\right).x+1=2-\sqrt{2}$

$\iff x=\frac{1-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}=\frac{\left(1-\sqrt{2}\right).\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}=\frac{3+\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{3+\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2}{7}=\frac{1-2\sqrt{2}}{7}$