Giải Toán 12 trang 66 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 trang 66Tập 1

Bài 11 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(0;2;-1\right)$, $\overrightarrow{w}=\left(1;7;2\right)$ . Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ .

Lời giải:

$4\overrightarrow{v}=\left(0;8;-4\right)$; $2\overrightarrow{w}=\left(2;14;4\right)$ .

Có $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{w}$ = (2 - 0 - 2;- 5 - 8 - 14;3 + 4 - 4) = (0; -27; 3).

Bài 12 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho ba điểm A(0; 1; 2), B(1; 2; 3), C(1; −2; −5). Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng BC sao cho MB = 3MC. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Lời giải:

Vì M nằm trên đoạn thẳng BC nên $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MC}$ ngược hướng.

Mà MB = 3MC nên $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$ .

Gọi M(x; y; z). Có $\overrightarrow{MB}=\left(1-x;2-y;3-z\right)$ và $\overrightarrow{MC}=\left(1-x;-2-y;-5-z\right)$ .

Vì $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$ nên $\begin{array}{l}1-x=-3\left(1-x\right)\\ 2-y=-3\left(-2-y\right)\\ 3-z=-3\left(-5-z\right)\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=-3\end{array}$.

Vậy M(1; −1; −3).

Khi đó ta có $AM=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(-3-2\right)}^2}=\sqrt{30}$ .

Bài 13 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ tạo với nhau góc 60°. Biết rằng $\left.\overrightarrow{u}\right|=2$ và $\left.\overrightarrow{v}\right|=4$ . Tính $\left.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$ .

Lời giải:

Ta có ${\left.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|}^2={\overrightarrow{u}}^2+2.\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$

$=2^2+2.\left.\overrightarrow{u}\right|.\left.\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)+4^2$

$=2^2+\mathrm{2.2.4.}\cos 60°+4^2$

$=2^2+\mathrm{2.2.4.}\frac{1}{2}+4^2=28$

Do đó $\left.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ .

Bài 14 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(0; −2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Gọi H(x; y; z) là chân đường cao hạ từ A xuống OB.

Ta có $\overrightarrow{BH}=\left(x;y+2;z-3\right)$ ; $\overrightarrow{BO}=\left(0;2;-3\right)$

Vì H $\in$OB và $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BO}$ cùng phương nên $\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{BO}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y+2=2k\\ z-3=-3k\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y=2k-2\\ z=-3k+3\end{array}$

Do đó H(0; 2k – 2; −3k + 3).

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-2-2;-3k+3+1\right)$ hay $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-4;-3k+4\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BO}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BO}=0$

$\iff \left(-1\right).0+\left(2k-4\right).2+\left(-3k+4\right).\left(-3\right)=0$

$\iff k=\frac{20}{13}$

Suy ra $H\left(0;\frac{14}{13};\frac{-21}{13}\right)$ , $\overrightarrow{AH}=\left(-1;-\frac{12}{13};-\frac{8}{13}\right)$

Độ dài đường cao AH là $\left.\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{13}\right)}^2}=\frac{\sqrt{377}}{13}$.

b) Ta có $\left.\overrightarrow{BO}\right|=\sqrt{0+2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}$ .

Do đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BO.AH=\frac{1}{2}.\sqrt{13}.\frac{\sqrt{377}}{13}$ $=\frac{\sqrt{29}}{2}$ .

Bài 15 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho biết máy bay A đang bay với vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}=\left(300;200;400\right)$ (đơn vị: km/h). Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ gấp ba lần tốc độ của máy bay A.

a) Tìm tọa độ vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B.

b) Tính tốc độ của máy bay B.

Lời giải:

a) Có $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{a}=\left(900;600;1200\right)$ .

b) Tốc độ của máy bay B là:

$\left.\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{900}^2+{600}^2+{1200}^2}\approx 1615,55$km/h

Bài 16 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó.

Một phân tử metan CH₄ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện.

Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H – C – H là góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen. Chứng minh rằng góc liên kết này gần bằng 109,5°.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều ABCD.

Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{GA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{GB},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{GC},\overrightarrow{d}=\overrightarrow{GD}$

Ta có $\left.\overrightarrow{a}\right|=\left.\overrightarrow{b}\right|=\left.\overrightarrow{c}\right|=\left.\overrightarrow{d}\right|$và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$

Ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow {\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\right)}^2=0$

$\Rightarrow 4{\overrightarrow{a}}^2+12.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

$\Rightarrow \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{{\overrightarrow{a}}^2}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\approx 109,5°$

Vậy góc liên kết gần bằng 109,5°.