Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(0; −2; 3). a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 2 trang 65

Bài 14 trang 66 Toán 12 Tập 1:Cho hai điểm A(1; 2; −1), B(0; −2; 3).

a) Tính độ dài đường cao AH hạ từ đỉnh A của tam giác OAB với O là gốc tọa độ.

b) Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

a) Gọi H(x; y; z) là chân đường cao hạ từ A xuống OB.

Ta có $\overrightarrow{BH}=\left(x;y+2;z-3\right)$ ; $\overrightarrow{BO}=\left(0;2;-3\right)$

Vì H $\in$OB và $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BO}$ cùng phương nên $\overrightarrow{BH}=k\overrightarrow{BO}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y+2=2k\\ z-3=-3k\end{array}$$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y=2k-2\\ z=-3k+3\end{array}$

Do đó H(0; 2k – 2; −3k + 3).

Suy ra $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-2-2;-3k+3+1\right)$ hay $\overrightarrow{AH}=\left(-1;2k-4;-3k+4\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BO}$ nên $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BO}=0$

$\iff \left(-1\right).0+\left(2k-4\right).2+\left(-3k+4\right).\left(-3\right)=0$

$\iff k=\frac{20}{13}$

Suy ra $H\left(0;\frac{14}{13};\frac{-21}{13}\right)$ , $\overrightarrow{AH}=\left(-1;-\frac{12}{13};-\frac{8}{13}\right)$

Độ dài đường cao AH là $\left.\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{13}\right)}^2}=\frac{\sqrt{377}}{13}$.

b) Ta có $\left.\overrightarrow{BO}\right|=\sqrt{0+2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}$ .

Do đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.BO.AH=\frac{1}{2}.\sqrt{13}.\frac{\sqrt{377}}{13}$ $=\frac{\sqrt{29}}{2}$ .