Giải Toán 12 trang 29 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 29Tập 1

Luyện tập 2 trang 29 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với $x\ge 1$.

Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là $C\left(x\right)=2x+45$ (triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/ sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+45}{x}$

Vì $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-45}{x^2}<0$ với mọi $x\ge 1$ nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là hàm số giảm.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+45}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2+\frac{45}{x}}{1}=2$

Do đó, chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn 2 triệu đồng/ sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ và đi xuống trong khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với $t\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải:

a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: $200+40t$ (l).

Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: $20t$ (g).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{40t+200}$(gam/lít).

b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{20t}{40t+200}=\frac{1}{2}$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200}$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$ là phần màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.