Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với $t\ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải:

a) Thể tích nước trong bể sau t phút là: $200+40t$ (l).

Khối lượng chất khử trùng trong bể sau t phút là: $20t$ (g).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{40t+200}$(gam/lít).

b) Hàm số về nồng độ chất khử trùng là: $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$.

1. Tập xác định của hàm số: $\left[0;+\mathrm{\infty }\right)$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận: $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{20t}{40t+200}=\frac{1}{2}$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y=\frac{1}{2}$ làm tiệm cận ngang (phần bên phải trục Oy).

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200}$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số $f\left(t\right)=\frac{20t}{40t+200},t\ge 0$ là phần màu xanh không bị gạch chéo.

c) Vì $f^{\prime }\left(t\right)=\frac{4000}{{\left(40t+200\right)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ và $\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=\frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo t nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/ lít.