Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -2x^3 + 3x^2 - 5x

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Luyện tập 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$.

Lời giải:

1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-6x^2+6x-5=-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}\le -\frac{7}{2}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Hàm số nghịch biến trên $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-2+\frac{3}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$ với trục tung là $\left(0;0\right)$.

Ta có: $-2x^3+3x^2-5x=0\iff -x\left(2x^2-3x+5\right)=0\iff x=0$. Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm $\left(1;-4\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5x$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $\left(\frac{1}{2};-2\right)$.