Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = -x^3 + 3x + 1; b) y = x^3 + 3x^2 - x -1

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x+1$;b) $y=x^3+3x^2-x-1$.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+3,y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$

Trên khoảng $\left(-1;1\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=-1$

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(-1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); $\left(-1;-1\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+6x-1,y^{\prime }=0\iff x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$

Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\mathrm{\infty }\right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$, giá trị cực tiểu $y_{CT}=\frac{18-16\sqrt{3}}{9}$.

Giới hạn tại vô cực:$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[x^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); $\left(1;2\right)$ thuộc đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-x-1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).