Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -x^2 + 3x -1/x - 2

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$

$y^{\prime }=-1-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}<0\mathrm{\forall }x\ne 2$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số không có cực trị.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$$\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x+1+\frac{1}{x-2}+x-1\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x+1+\frac{1}{x-2}+x-1\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-2}=0$

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x=2$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-x+1$ làm tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{1}{2}\right)$.

$y=0\iff \frac{-x^2+3x-1}{x-2}=0\iff x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm$\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right)$.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I\left(2;-1\right)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.