Giải Toán 10 trang 71 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 71 Tập 1

Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{2};6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{2};6\right)$và $\overrightarrow{b}=\left(1;3\sqrt{2}\right)$.

C. $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$và $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$.

D. $\overrightarrow{c}=\left(1;3\right)$và $\overrightarrow{d}=\left(2;-6\right)$.

Lời giải

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(\frac{1}{2};6\right)$:

Ta có: $\frac{2}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$suy ra hai vectơ $\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{v}$không cùng phương.

Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(\sqrt{2};6\right)$và $\overrightarrow{b}=\left(1;3\sqrt{2}\right)$:

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}$suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng phương.

Do đó B đúng.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{i}=\left(0;1\right)$và $\overrightarrow{j}=\left(1;0\right)$:

Đây là hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với nhau suy ra hai vectơ $\overrightarrow{i}$và $\overrightarrow{j}$  không cùng phương.

Do đó C sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{c}=\left(1;3\right)$và $\overrightarrow{d}=\left(2;-6\right)$:

Ta có: $\frac{1}{2}\ne \frac{3}{-6}$suy ra hai vectơ $\overrightarrow{c}$và $\overrightarrow{d}$không cùng phương.

Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(4;6\right)$.

B. $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1\right)$.

C. $\overrightarrow{z}=\left(a;b\right)$và $\overrightarrow{t}=\left(-b;a\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$và $\overrightarrow{k}=\left(2;0\right)$.

Lời giải

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(2;3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(4;6\right)$:

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.4+3.6=8+18=26\ne 0.$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$không vuông góc. Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1\right)$:

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1.\left(-1\right)+\left(-1\right).1=-1+\left(-1\right)=-2\ne 0.$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{z}=\left(a;b\right)$và $\overrightarrow{t}=\left(-b;a\right)$:

Ta có: $\overrightarrow{z}.\overrightarrow{t}=a.\left(-b\right)+b.a=-ab+ab=0.$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{z},\overrightarrow{t}$vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

+) Xét hai vectơ $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$và $\overrightarrow{k}=\left(2;0\right)$:

Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}=1.2+1.0=2+0=2\ne 0.$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}$không vuông góc. Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)$.

B. $\overrightarrow{b}=\left(1;-1\right)$.

C. $\overrightarrow{c}=\left(2;\frac{1}{2}\right)$.

D. $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.

Lời giải

+) Xét vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;1\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\ne 1$. Do đó A sai.

+) Xét vectơ $\overrightarrow{b}=\left(1;-1\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{2}\ne 1$. Do đó B sai.

+) Xét vectơ $\overrightarrow{c}=\left(2;\frac{1}{2}\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{c}\right|=\sqrt{2^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{17}{4}}\ne 1$. Do đó C sai.

+) Xét vectơ $\overrightarrow{d}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\Rightarrow \left.\overrightarrow{d}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)}^2}=1$. Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1: Góc giữa vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-1\right)$và vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;0\right)$có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Lời giải

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$

B. ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2.$

C. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

D. $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}.$

Lời giải

+) Xét phương án A:

$\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}=\left.\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\right]\overrightarrow{c}$;

$\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\left.\left.\overrightarrow{b}\right|.\left.\overrightarrow{c}\right|.cos\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\right)\right]$.

Suy ra $\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{c}\ne \overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\right).$Do đó A sai.

+) Xét phương án B:

${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\left.\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\right]}^2={\left.\overrightarrow{a}\right|}^2.{\left.\overrightarrow{b}\right|}^2.co{s}^2\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$

${\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2={\left.\overrightarrow{a}\right|}^2.{\left.\overrightarrow{b}\right|}^2.$

Suy ra ${\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2.{\overrightarrow{b}}^2$chỉ đúng khi $co{s}^2\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=1$. Do đó B sai.

+) Xét phương án C:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.c\text{os}\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\ne \left.\overrightarrow{a}\right|.\left.\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right).$

Do đó C sai.

+)Xét phương án D:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

 $\overrightarrow{a}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$(tính chất phân phối đối với phép trừ).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=45°.$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Lời giải

ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;

Và $BD=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.

+) Vì ABDM là hình bình hành nên $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)=\widehat{BAM}=90°+45°=135°.$ 

Do đó A sai.

+) Vì ABNC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BN}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BN},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBN}=45°$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos\widehat{CBF}=a\sqrt{2}.a.c{\text{os45}}^0=a^2.$

Do đó B đúng.

+) Ta có $AC\perp BD\Rightarrow \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Do đó C sai.

+) Ta có:

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=BA.BD.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right)=BA.BD.\cos \widehat{ABD}=a.a\sqrt{2}.c{\text{os45}}^0=a^2.$ 

Do đó D sai.

B. Tự luận

Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MB}$và $\overrightarrow{MC}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AM}$theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}.$

Lời giải

a) Vì điểm M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ $\overrightarrow{MB}$và $\overrightarrow{MC}$là hai vectơ ngược hướng.

Lại có MB = 3MC nên $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}$.

Vậy $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}.$

b) Theo câu a: $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MC}\Rightarrow \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{CM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}.$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$  (quy tắc ba điểm)

$=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\widehat{AC}$.