Giải Toán 10 trang 72 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 72 Tập 1

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Ta có:

+) 

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=2\overrightarrow{MO}$

(Vì $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$)

+) 

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)=2\overrightarrow{MO}$

(Vì $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$)

Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}.$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}.$

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BA}$và $\overrightarrow{BC}.$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải

a) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: $\overrightarrow{BA}=\left(4;-4\right)$và $\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right).$

b) Ta có: 

$\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=4.\left(-3\right)+\left(-4\right).\left(-3\right)=-12+12=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow BA\perp BC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.

Do $\overrightarrow{BA}=\left(4;-4\right)\Rightarrow BA=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2}=4\sqrt{2}$;

$\overrightarrow{BC}=\left(-3;-3\right)\Rightarrow BC=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{2}$.

Với A(2; 1) và C(‒5; 2) ta có:

$\overrightarrow{AC}=\left(-7;1\right)\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(-7\right)}^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ 

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.BC=\frac{1}{2}.4\sqrt{2}.3\sqrt{2}=12$ (đơn vị diện tích)

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + AC = $4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=12\sqrt{2}$(đơn vị độ dài)

c)Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2+\left(-2\right)+\left(-5\right)}{3}=\frac{-5}{3}\\ y_G=\frac{1+5+2}{3}=\frac{8}{3}\end{array}\Rightarrow G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right)$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{-5}{3};\frac{8}{3}\right).$

d)

Để tứ giác BCAD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

Giả sử D(x; y) là điểm cần tìm.

Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-7;1\right)$và $\overrightarrow{DB}=\left(-2-x;5-y\right)$

Do đó $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$

$\iff \begin{array}{l}-2-x=-7\\ 5-y=1\end{array}\iff \begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\Rightarrow D\left(5;4\right)$.

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$.

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{AE}$theo các vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5) ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{CD}=\left(7;7\right)$.

b) Xét hai vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{CD}=\left(7;7\right)$:

Ta có: $\frac{7}{2}=\frac{7}{2}$nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{CD}$cùng phương.

c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và E(a; 1) ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$và $\overrightarrow{BE}=\left(a-3;-3\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$cùng phương khi và chỉ khi $\frac{a-3}{-2}=\frac{-3}{-4}$

$\iff$ (‒ 4).(a – 3) = (‒3). (‒2)

$\iff$ ‒ 4a + 12 = 6

$\iff$ 4a = 6

$\iff a=\frac{3}{2}.$

Vậy $a=\frac{3}{2}$thì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương.

d) Với $a=\frac{3}{2}\Rightarrow E\left(\frac{3}{2};1\right)$

Với A(1; 2) và $E\left(\frac{3}{2};1\right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\left(\frac{1}{2};-1\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)$và $\overrightarrow{AC}=\left(-2;-4\right)$

Tồn tại hai số thực m và n thỏa mãn: $\overrightarrow{AE}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$

$\iff \begin{array}{l}\frac{1}{2}=m.2+n.\left(-2\right)\\ -1=m.2+n.\left(-4\right)\end{array}\iff \begin{array}{l}2m-2n=\frac{1}{2}\\ 2m-4n=-1\end{array}\iff \begin{array}{l}m=1\\ n=\frac{3}{4}\end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}.$Chứng minh rằng $\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$(hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left.\overrightarrow{a}\right|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Lời giải

Ta thấy $\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}>0\left(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}\right)$nên $\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$là vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}.$

Độ dài của vectơ $\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$là: $\left.\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}\right|=\left.\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\right|.\left.\overrightarrow{a}\right|=\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}.\left.\overrightarrow{a}\right|=1$

Vậy vectơ $\frac{1}{\left.\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$(hay còn được viết là $\frac{\overrightarrow{a}}{\left.\overrightarrow{a}\right|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{u}$với $\left.\overrightarrow{a}\right|=\left.\overrightarrow{b}\right|=1$và $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{b}$. Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\overrightarrow{u}$có tọa độ là $\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a};\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).$

b) $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{b}\right).\overrightarrow{b}.$

Lời giải

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Lời giải

Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ trên, trong đó:

$\overrightarrow{OE}$ là hướng đông, $\overrightarrow{\text{OS}}$là hướng nam, $\overrightarrow{OW}$là hướng tây, $\overrightarrow{ON}$là hướng bắc;

$\overrightarrow{OA}$ biểu diễn vectơ vận tốc của dòng nước ${\overrightarrow{v}}_n$và $OA=\left.{\overrightarrow{v}}_n\right|=3$;

$\overrightarrow{OB}$ là hướng S15°E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động của ca nô ${\overrightarrow{v}}_{cano}$tạo với $\overrightarrow{OS}$một góc 15° và $OB=\left.{\overrightarrow{v}}_{cano}\right|=20$;

Lấy điểm C sao cho OABC là hình bình hành. Khi đó $\overrightarrow{OC}$biểu diễn vectơ vận tốc riêng ${\overrightarrow{v}}_r$của ca nô.

Vì $\overrightarrow{OB}$tạo với $\overrightarrow{OS}$một góc 15° nên $\overrightarrow{OB}$tạo với $\overrightarrow{OA}$một góc là 90° ‒ 15° = 75° tức là $\widehat{AOB}=75°$

Xét tam giác OAB có: AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos$\widehat{AOB}$

$\Rightarrow$ AB² = 3² + 20² – 2.3.20.cos75°

$\Rightarrow$ AB ≈ 19,44

Vì OABC là hình bình hành nên OC = AB ≈ 19,44 (tính chất hình bình hành)

Suy ra $\left.{\overrightarrow{v}}_r\right|=\left.\overrightarrow{OC}\right|=OC\approx 19,44$(km/h)

Vậy vận tốc riêng của ca nô khoảng 19,44 km/h.