Giải hệ phương trình Câu hỏi 3 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 3 trang 13 SBT Toán 9 Tập 2:Giải hệ phương trình: $\begin{array}{l}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\ \frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\ \frac{xz}{z+x}=\frac{3}{4}\end{array}$

Lời giải:

Điều kiện: $x\ne -y;y\ne -z;z\ne -x$

Từ hệ phương trình đã cho suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{xy}{x+y}=\frac{2}{3}\\ \frac{yz}{y+z}=\frac{6}{5}\\ \frac{xz}{z+x}=\frac{3}{4}\end{array}\iff \begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}=\frac{3}{2}\\ \frac{y+z}{yz}=\frac{5}{6}\\ \frac{z+x}{xz}=\frac{4}{3}\end{array}$$\iff \begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\\ \frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}\\ \frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{4}{3}\end{array}$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c$ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}a+b=\frac{3}{2}\\ b+c=\frac{5}{6}\\ c+a=\frac{4}{3}\end{array}$

Cộng từng vế của ba phương trình ta được:

a + b + b + c + c + a = $\frac{3}{2}+\frac{5}{6}+\frac{4}{3}$

$\iff 2\left(a+b+c\right)=\frac{9}{6}+\frac{5}{6}+\frac{8}{6}$

$\iff a+b+c=\frac{11}{6}$

$a=\left(a+b+c\right)-\left(b+c\right)=\frac{11}{6}-\frac{5}{6}=1$

$b=\left(a+b+c\right)-\left(a+c\right)=\frac{11}{6}-\frac{4}{3}=\frac{1}{2}$

$c=\left(a+b+c\right)-\left(a+b\right)=\frac{11}{6}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}\frac{1}{x}=1\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{z}=\frac{1}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).