Giải các hệ phương trình theo hai cách (Cách thứ nhất: đưa hệ

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bài 30 trang 11 SBT Toán 9 Tập 2:Giải các hệ phương trình theo hai cách (Cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng: $\begin{array}{l}ax+by=c\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'}\end{array};$Cách thứ hai: Đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s; 3y + 2 = t);

a) $\begin{array}{l}2\left(3x-2\right)-4=5\left(3y+2\right)\\ 4\left(3x-2\right)+7\left(3y+2\right)=-2\end{array}$

b) $\begin{array}{l}3\left(x+y\right)+5\left(x-y\right)=12\\ -5\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=11\end{array}$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có: $\begin{array}{l}2\left(3x-2\right)-4=5\left(3y+2\right)\\ 4\left(3x-2\right)+7\left(3y+2\right)=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}6x-4-4=15y+10\\ 12x-8+21y=14=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}6x-15y=18\\ 12x+21y=-8\end{array}$$\iff \begin{array}{l}12x-30y=36\\ 12x+21y=-8\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}12x-30y=36\\ 51y=-44\end{array}$$\iff \begin{array}{l}2x-5y=6\\ y=\frac{-44}{51}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x=6-\frac{220}{51}\\ y=\frac{-44}{51}\end{array}\iff \begin{array}{l}2x=\frac{86}{52}\\ y=\frac{-44}{51}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{43}{51}\\ y=\frac{-44}{51}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(\frac{43}{51};\frac{-44}{51}\right)$.

Cách 2: Đặt m = 3x – 2; n = 3y + 2

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}2m-4=5n\\ 4m+7n=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4m-10n=8\\ 4m+7n=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}17n=-10\\ 4m+7n=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}n=\frac{-10}{17}\\ 4m+7n=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}n=\frac{-10}{17}\\ 4m+7.\left(\frac{-10}{17}\right)=-2\end{array}$$\iff \begin{array}{l}n=\frac{-10}{17}\\ 4m=-2+\frac{70}{17}\end{array}\iff \begin{array}{l}n=\frac{-10}{17}\\ m=\frac{9}{17}\end{array}$

Ta có: $\iff \begin{array}{l}3x-2=\frac{9}{17}\\ 3y+2=\frac{-10}{7}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x=2+\frac{9}{17}\\ 3y=-2-\frac{10}{17}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x=\frac{43}{17}\\ 3y=\frac{-44}{17}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{43}{51}\\ y=\frac{-44}{51}\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = $\left(\frac{43}{51};\frac{-44}{51}\right)$

b) $\begin{array}{l}3\left(x+y\right)+5\left(x-y\right)=12\\ -5\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=11\end{array}$

Cách 1:

Ta có: $\begin{array}{l}3\left(x+y\right)+5\left(x-y\right)=12\\ -5\left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=11\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}3x+3y+5x-5y=12\\ -5x-5y+2x-2y=11\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}8x-2y=12\\ -3x-7y=11\end{array}\iff \begin{array}{l}24x-6y=36\\ -24x-56y=88\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4x-y=6\\ 62y=-124\end{array}\iff \begin{array}{l}4x-y=6\\ y=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4x-\left(-2\right)=6\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}4x=4\\ y=-2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}$

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; -2)

Cách 2: Đặt m = x + y; n = x – y

Ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}3m+5n=12\\ -5m+2n=11\end{array}\iff \begin{array}{l}15m+25n=60\\ -15m+6n=33\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}31n=93\\ -15m+6n=33\end{array}\iff \begin{array}{l}n=3\\ -15m+6n=33\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}n=3\\ -15m+6.3=33\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}n=3\\ -15m=15\end{array}\iff \begin{array}{l}n=3\\ m=-1\end{array}$

Ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}x+y=-1\\ x-y=3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x=2\\ x-y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ x-y=3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=1\\ 1-y=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; -2).