Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 24 trang 54 SBT Toán 9 Tập 2:Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a) mx²– 2(m – 1)x + 2 = 0

b) 3x² + (m + 1)x + 4 = 0

Lời giải:

a) Phương trình mx² – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0

Ta có: Δ = [–2(m – 1)]² – 4.m.2 = 4(m² – 2m + 1) – 8m

= 4(m² – 4m + 1)

Δ = 0 ⇔ 4(m² – 4m + 1) = 0 ⇔ m² – 4m + 1 = 0

Giải phương trình m² – 4m + 1 = 0. Ta có:

${\Delta }_m$= (–4)² – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0

$m_1=\frac{-b+\sqrt{{\Delta }_m}}{2a}=\frac{-\left(-4\right)+2\sqrt{3}}{2.1}=2+\sqrt{3}$

$m_2=\frac{-b-\sqrt{{\Delta }_m}}{2a}=\frac{-\left(-4\right)-2\sqrt{3}}{2.1}=2-\sqrt{3}$

Vậy m = $2+\sqrt{3}$ hoặc m = 2 – $\sqrt{3}$thì phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình 3x² + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ = 0

Ta có : Δ = (m + 1)² – 4.3.4 = m² + 2m + 1 – 48 = m² + 2m – 47

Δ = 0 ⇔ m² + 2m – 47 = 0

Giải phương trình m² + 2m – 47 = 0. Ta có:

 ${\Delta }_m$= 2² – 4.1.(–47) = 4 + 188 = 192 > 0

$\sqrt{{\Delta }_m}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$

$m_1=\frac{-b+\sqrt{{\Delta }_m}}{2a}=\frac{-2+8\sqrt{3}}{2.1}=4\sqrt{3}-1$

$m_2=\frac{-b-\sqrt{{\Delta }_m}}{2a}=\frac{-2-8\sqrt{3}}{2.1}=-4\sqrt{3}-1$

Vậy với $m=4\sqrt{3}-1;m=-1-4\sqrt{3}$thì phương trình đã cho có nghiệm kép.