Chứng minh rằng nếu phương trình ax^2 + bx + c = x

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 4 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2:Chứng minh rằng nếu phương trình ax² + bx + c = x (a ≠ 0) vô nghiệm thì phương trình a(ax² + bx + c)² + b(ax² + bx + c) + c = x cũng vô nghiệm.

Lời giải:

Đặt f(x) = $a{x}^2+bx+c$

Phương trình  $a{x}^2+bx+c$= x ( $a\ne 0$) vô nghiệm

$\Delta ={\left(b-1\right)}^2-4ac<0$

$\iff {\left(b-1\right)}^2<4ac$

$\iff 4ac-{\left(b-1\right)}^2>0$

$\Rightarrow f\left(x\right)-x=a{x}^2+\left(b-1\right)x+c$

$=a\left(x^2+\frac{b-1}{a}x+\frac{c}{a}\right)$

$=a\left.x^2+2.\frac{b-1}{2a}x+\frac{{\left(b-1\right)}^2}{4a}-\frac{{\left(b-1\right)}^2}{4a}+\frac{c}{a}\right]$

$=a\left.{\left(x+\frac{b-1}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-{\left(b-1\right)}^2}{4a^2}\right]$

Vì ${\left(x+\frac{b-1}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-{\left(b-1\right)}^2}{4a^2}$> 0$\Rightarrow f\left(x\right)-x$ luôn cùng dấu với a.

Nếu a > 0$\Rightarrow f\left(x\right)-x>0\Rightarrow f\left(x\right)>x$ với mọi x

 $\Rightarrow a{\left.f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c>f\left(x\right)>x$với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để a${\left.f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c=x$

 $\Rightarrow a{\left.f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c<f\left(x\right)<x$ với mọi x

Vậy không có giá trị nào của x để $a{\left.f\left(x\right)\right]}^2+bf\left(x\right)+c=x$

Vậy phương trình $a{\left(a{x}^2+bx+c\right)}^2+b\left(a{x}^2+bx+c\right)+c=x$vô nghiệm.